概率问题、分布问题选讲.docVIP

概率问题选讲 严禁烟火问题 当我们进入林区时或进入汽车加油站时都能看见醒目的标志牌“严禁烟火”.请用所 学过的概率知识阐述之. 解: 虽然一次用火引起的火灾的概率非常的小，但多次的用火仍然安全吗? 分房问题 设有个人，每个人都等可能地被分配到个房间中的任意一间去住.求下列 事件的概率. （1）指定的个房间各有一个人住； （2）恰好有个房间，其中各住一个人. 生日问题 某班级打算对每位同学举行生日活动，该班级有位学生. 问该班级至少有两人的生日 10 20 23 30 40 50 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97 在同一天的概率为多少? 抽签问题 盒中有只黑球，只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有差别. 现把球随机的一 只只摸出来，求第次摸出的一只球是黑球的概率. 解法一 把只黑球与只白球都看作是不同的（例如把它们都编上不同的号），若把摸出的球 依次放在排列成一直线的个位置上，则可能的排法总数为. 第次摸得黑球有 种方法，而另外个位置有种排法，于是所求概率为 . 这个结果与无关！仔细想一下，就会发现这个结果与我们的生活经验是一致的. 例如在体 育比赛中进行的抽签，对各队的机会均等与抽签的先后次序是无关地. 解法二 把只黑球看作是没有区别的，把只黑球也看作是没有区别的. 把摸出的球依次放 在排列成一直线的个位置上. 若把只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球， 而黑球的位置有种放法，由于第次摸得黑球，这个位置必然放黑球，剩下的黑球 可以放在个位置上的任意个位置，因此共有种放法，于是所求概率为 . 解法三 第次摸得黑球有种可能，而第次摸球总共有种可能，于是所求的概率为 . 会面问题（几何概率） 两人相约晚间7点到8点在某地点会面，先到者等候另一人20分钟，如果另一人没来 这时先到者可以离去，试求这两人能够会面的概率. 解: 以分别表示两人到达的时刻，则两人会面的 充要条件是：. 可能的结果的全体是边长为60的正方形里所有的点， 能会面的点的区域用阴影标出.于是所求概率为 . Buff蒲丰投针问题 平面上画着一些平行线，它们之间的距离都相等于，向此平面任投一长度为 的针，试求此针与任一平行线相交的概率. 匹配问题 某人给他的位好朋友每人写了一封信，又写好只署名的信封，然后在黑暗中把每封 信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率. 解: 若以记第封信与信封符合，则所求事件为，所以可以用概率的加法 公式，不难求得 ， ， ， …………………………… . 于是 . 这个问题若要直接计算有利场合数，那将是非常复杂的. Pólya波利亚罐模型 罐中有只黑球及只红球，随机取出一只，把原球放回，并加进与抽出球同色的球 只，再摸第二次，这样下去共摸了次，问前面的次出现黑球，后面的次出现 红球的概率是多少? 解: 以表示第一次摸出黑球这一事件，……，表示第次摸出黑球，表示第 次摸出红球，……，表示第次摸出红球.于是 ， ， ， ……………………………… ， ， ， ……………………………… . 因此 . 这个答案只与黑球及红球出现的次数有关，而与黑球及红球出现的顺序无关.这个模型 可用来作为描述传染病的数学模型.特别地取，则是有放回摸球；取，则是不 放回摸球. 例: 送检的两批灯泡在运输的途中各打碎了一支.若每批十支，而第一批中有1支次品，第二 批中有2支次品.现从剩下的灯泡中任取一支，问抽得次品的概率是多少? 解: 以表示抽得次品这一事件，为了求其概率，要考虑抽得的灯泡出自哪一批中. 以表示灯泡出自第一批，那么表示灯泡出自第二批.于是有，. 为了计算还必须分别考虑第一批中打碎的是次品还是好品，因此有 . 同理 . 于是得 . （还有其他的解法吗?） 概率分布选讲 Bernoulli伯努利分布 只进行一次伯努利试验，则事件出现或事件出现，其概率是: 或. 且称为伯努利分布. 二项分布 在次独立重复试验中，事件发生次的概率，用表示. 几何分布 在次独立重复试验中，首次成功出现在第次试验的概率. 分析: 要使首次成功出现在第次试验，就必须而且只须在前面次试验中都出现事件 ，而第次试验出现，设. 利用事件的独立性，得 . 记 ，. 这是几何级数的一般项，称为几何分布. 例: 一人晚上醉酒回家要打开门，他有把钥匙，其中仅有一把是能打开门的钥匙.他随机 地取出一把钥匙开门，若次钥匙打不开就把它放到一边去，求这人第次才打开门的概 率是多少? Pascal巴斯卡分布 考虑相继的伯努利试验，要多长才会出现第次成功? 分析: 若第次成功发生在第次实验，那么必然有. 用表示第次成功发生在第次实验这件事，并以记其概率，发生 当且前面的次试验中有次成功，次失败，而第次试验的结果为成功，这些 事件的概率分别为与. 于是利用试