第十章 双线性空间与辛空间.docVIP

第十章 双线性空间与辛空间 习题解答 1、是数域P上一个3维线性空间，是它的一组基，是上一个线性函数，已知，，，求. 解 由假设得 ， 由此可以解得，，， . 2、及同上题，试找出一个线性函数，使， . 解 ，，， 解得 ，. ，. 3、设是线性空间的一组基，是它的对偶基，， ，. 试证是的一组基，并求它的对偶基（用表出）。 解 设，其中 ，因为，因此线性无关，从而为的一组基。设为的对偶基。那么 ， 即，，. 4、设是一个线性空间，是中非零向量，试证：存在，使（）. 证 对用数学归纳法，当时，是的非零向量，即不是零函数。存在，使. 即证得当时，命题成立。 归纳假设结论对成立，即存在，使（）. （1） 如果，则命题证毕。若.但不是零函数，因此存在，使 . （2） 设 （）， （3） 可选数，使（）， （4） 令，，则（）， . （5） 5、设是线性空间中非零向量，证明：有，使（）. 证 因为，是非零向量，则是中非零向量. 又，因此是上非零向量，由上题知，使 （）. 这样有（）. 6、，对定义 ，，.试证都是上线性函数，并找出的一组基使是它的对偶基。 证 先证. ，，有 . . 类似可证. 即是上线性函数。 设为的一组基，是它的对偶基。并设 ，则，. （1） 由式（1），算出积分后得 ， （2） 解得，，因此. 类似可得，. 因为. 因此为的对偶基。 7、设是一个维欧式空间，它的内积为，对中确定的向量，定义上一个函数：. 1）证明：是上的线性函数； 2）证明到的映射：是到的一个同构映射。（在这个同构下，欧式空间可看成自身的对偶空间。） 证 1）是到实数域上映射，因此是上函数。，，则 ， . 即证得是上线性函数。 2）是上一切线性函数全体，令（），则是到的映射。 先证是单射。若，则，， ，，所以. 再证为满射。取的一组标准正交基为，再设为它们的对偶基。，令，则 . 从而得证为满射。 因，下面证明即可。任取，由为的对偶基，所以 ， （1） ， （2） 由式（1），（2）两式及的任意性，故有. 最后证明为同构映射。，，则 ，故， ，所以. 这样（即是线性空间同构，又是欧式空间同构）。 8、设是P 上维线性空间的一个线性变换。 1）证明：对上的线性函数，仍是上线性函数。 2）定义到自身的映射为，证明：是上的线性变换。 3）设是的一组基，是它的对偶基，并设在下的矩阵为. 证明：在下的矩阵为. （因此称做的转置映射）. 证 1），，是上函数。，， . 因此是线性函数。 2），由上面1）知，因此是到变换。 ，，则 ， . 即证得是的线性变换。 3）设，由假设知（）. （1） 设，其中，则 . （2） 但，； （3） 另一方面， （4） 所以 （对一切），即得. 9、设是数域上的一个线性空间。是上个线性函数。 1）证明下列集合是的一个子空间，称为线性函数的零化子空间。 2）证明：的任一个子空间皆为某些线性函数的零化子空间。 证 1），，所以，非空。，，则对一切 （），有，故；，故. 即证得为的子空间。 2）设为的子空间。设为的一组基，再扩大为的一组基，定义，则为的零化子空间。 10、设是上一个级矩阵。定义上一个二元函数，. 1）证明：是上的双线性函数； 2）求在基下的度量矩阵。（表示行列的元素为1， 而其余元素为零的矩阵。） 证 1），，则 ； . 即证得是双线性函数。 2）为了计算，可先算得 ， . 设所求度量矩阵为，则，其中为级单位矩阵。 11、在中定义一个双线性函数，对，, . 给定的一组基，，， . 求在这组基下的度量矩阵； 另取一组基，，其中 ，求在下的度量矩阵。 解 1）设在基下的度量矩阵为. 其中，则. 2）设在基下的度量矩阵为. 则. 12、设是复数域上线性空间，其维数，是上一个对称双线性函数。 1）证明：中有非零向量使； 2）如果是非退化的，则必有线性无关的向量满足， . 证