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第三部分：函数的综合应用 考点讲解 考点一 函数性质的综合 例1 （08年湖北省）已知在R上是奇函数，且当时，，则（ ）. A.-2 B.2 C.-98 D.98 分析 利用函数的奇偶性和周期性将自变量7化为自变量在范围内，这样就可以将自变量直接代入解析式. 解 ，故选A. 例2 （07年重庆市）已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）. A. B. C. D. 分析 由函数为偶函数知的图像关于直线对称，又函数在上为减函数知在上是增函数，从而可以比较大小. 解 选D. 例3 （07年上海市）已知函数，常数． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围． 分析 第（1）小题要注意对常数进行分类讨论；第（2）小题既可利用单调性的定义又可利用导函数. 解 （1）当时，， 对任意，，为偶函数． 当时，， 取，得 ， ，函数既不是奇函数，也不是偶函数． （2）法一：设， ， 要使函数在上为增函数，必须恒成立． ，即恒成立． 又，． 的取值范围是． 法二：由题意可知在上恒成立，在上恒成立，， 的取值范围是． 考点二 函数与方程的综合 例4 （08年湖北省）方程的实数解的个数为 . 分析 利用数形结合，分别作出函数与函数的图像，观察两图像有几个交点，交点的横坐标即为原方程的实数解. 解 填 例5 （08年湖北省）已知函数,,其中,为常数，则方程的解集为 . 分析 先利用的解析式求出的值，再来解方程. 解 ， 对比系数得，从而方程的解集为.故填. 例6 (08年天津市)设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为（ ）. A． B． C． D． 分析 利用方程找出之间的函数关系，再利用的取值范围求出的取值范围即值域从而判断出值域是的子集. 解 ，，当时，，故选B. 例7 （07年广东省）已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围. 分析 函数在区间上有零点即方程在在区间上至少有一解，从而将其转化为方程根的分布问题.注意分类讨论，要不重不漏. 解 若,则,令,不符题意, 故 当在[-1,1]上有一个零点时,此时或 解得或,但当时在[-1,1]上有两个零点， 或. 当在[-1,1]上有两个零点时,则①或②， 解①得，解②得， 综上,实数的取值范围为. 考点三 函数与不等式的综合 例8 （08年天津市）已知函数，则不等式的解集是（ ）. A. B. C. D. 分析 分与两种情况进行讨论. 解 原不等式可化为①或②， 解①得，解②得，综上得.故选C. 例9 （08年安徽省）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）. A． B． C． D． 分析 先利用函数的奇偶性求出函数的解析式再来比较大小. 解 由题意可知即，联立解得，，发现在R上单调递增，在R上恒成立，，故选D. 例10 （08年上海市）已知函数f(x)＝2x－eq \f(1,2|x|)，若2t f(2t)+ f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数的取值范围. 分析 本题的恒成立问题可以将分离出来，将其转化为求函数的最值问题. 解 当时， 即，，对于t∈[1,2]恒成立, ，， 故的取值范围是. 考点四 函数的应用题 例11 （07年湖北省）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克） 与时间t（小时）之间的函数关系式为 . （Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克 以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室. 分析 本题主要考查数学建模在实际问题中的应用.第（1）小 题利用待定系数法求出解析式；第（2）小题需建立不等关系 解不等式. 解 （Ⅰ）由图像可知，当时，； 将（0.1，1）代入得， 含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为； （Ⅱ）由题意可知，，解得 故第一空填；第二空填 例12 （08年湖北省）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有 大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的