第七章 线性映射 线性变换.docVIP

辽 东 学 院 教 案 纸 课程：高等代数 第7.1. PAGE 6页 第七章 线性映射 线性变换 引言 保持向量空间运算的映射十分重要，本章将对之作基础性的讨论，并把重点放在有限维情形．因此，同学们也将学习代数表示的思想，学习无论在理论上，还是在应用上都颇有价值的特征值的基础知识． §1 线性映射的概念 教学目的 通过2学时讲授，使学生理解线性映射（线性变换）的定义、向量空间的同构及线性映射的值域与核等概念，基本掌握线性映射的存在、唯一性命题及向量空间同构的刻画定理． 教学内容 本节阐述线性映射的概念，由之得到向量空间之间的重要关系：同构的概念． 1.1 定义与例子 设F是一个数域，V和W都是F上向量空间． 定义1 设?是V到W的一个映射．?，∈V，k∈F．若下列条件成立： 1)? (+)=? ()+? ()； 2)? (k)=k? ()， 则称?是V到W的一个线性映射． V到自身的线性映射叫做V的线性变换． 例1 设?=(x1，x2)∈R2，定义? ()=R3则?是R2到R3的一个映射．我们来证明，?是一个线性映射． 1)设? =(x1，x2)，=(y1，y2) ∈R 2，k∈R，则 2)． 因此，?是R 2到R 3的一个线性映射． 例2 设A∈Fmxn,,规定,则. 根据矩阵运算的性质，?k∈F，，∈Fn，都有 ． 所以?是Fn到Fm的一个线性映射． 例3 设V和W是数域F上向量空间．???V，令?对应W的零向量?．易见这是V到W的一个线性映射，叫做零映射． 例4 取定F的一个数k，?∈V，规定．易证?是V的一个线性变换，叫做V的一个位似(或纯量变换)． 特别地，取k=1，则?∈V，都有? ()=，这时?就是V的恒等变换1v，即V的单位变换．若取k=0，则?就是V的零变换． 例5 取定F的一个n维行向量()．对于??= ( )∈Fn，规定．易证，?是Fn到F的一个线性映射．这样线性映射叫做F上的一个n元线性函数或Fn上的一个线性型． 例6 几何空间V3到经过原点O的平面W上的正投影?是V3上的一个线性变换(如图7－1所示)．因为设α0是平面W的单位法向量，由解析几何推得 ． 其中(,)是与的内积．于是，直接验证知道σ保持向量加法 和纯量乘法． 例7 求导数是C(1)(a，b)到 R (a，b) 的一个线性映射，用D或 图7? 图7?1 ． 例8 向量空间C [a，b]到自身上的一个映射 是C[a，b]上的一个线性变换． 下面对定义1作两点说明．首先，定义1里的条件1)，2)与下面的条件等价： 3)，其中k，r∈F，?，∈V． 事实上，若映射满足条件1)与2)，则k，r∈F与?，∈V，有 ． 反之，设3)成立．取k=r=1，就得到条件1)；取r=0，就得到条件2)． 在条件2)里，取k=0，就得到，即线性映射将零向量映成零向量． 由3)，对n作数学归纳法，易得 ，． 其次考虑线性映射的存在性，我们来证明三个命题． 命题7.1.1 设V和W都是数域F上的向量空间，且V是有限维的，?和τ都是V到W的线性映射．在V中取一个基．若?和τ对这个基的作用相同，即 ， 则? =τ． 证 任取V的一个向量，因为 ， 所以? =τ． ? 命题7.1.1表明，V到W的一个线性映射完全被它对V的一个基的作用所决定．现在要问：给了数域F上的任意两个向量空间V和W，是否存在V到W的线性映射？此回答是肯定的，特别是当V是有限维时，则有 命题7.1.2 设V和W都是数域F上的向量空间，且是V的一个基，在W中任意取定n个向量(它们中可以相同)，则存在V到W的唯一的线性映射σ，使得 ． 证 存在性 任取∈V．规定 ． (1) 由于是V的一个基，所以(1)定义了V到W的一个映射．又 ，?a?F，有 ; ． 因此?是V到W的一个线性映射，并且由(1)易见? ()= ． ?的唯一性由命题7.1.1立得． ? 命题7.1.3 设V是数域F上的任一向量空间．若存在V的子空间U，W，使得V=U?W，则存在V上唯一的一个线性变换,使得 （2） 这个线性变换称为平行于W在U上的投影(射影)． 证 任取，设，令 ， 则是V到V的一个映射(因为α写成的表法唯一)，并且对，则 因此,是V上的一个线性变换.又若,则;若，则．存在性得证． 唯一性 设V上的线性变换τ满足(2)．任取α∈V，设 ，则 ． 因此，． ? 类似地，定义，则也是线性变换，称它为平行于U在W上的投影． 1.2 值域与核