第三章 向量组与矩阵的秩.docVIP

PAGE PAGE 25 第三章 向量组与矩阵的秩 §１ n维向量 在平面几何中，坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述，点的坐标是一个有序数对.一个元方程 可以用一个元有序数组 来表示.矩阵和矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组来表示.有序数组的应用非常广泛，有必要对它们进行深入的讨论. 定义 1 个数组成的有序数组 （３.１） 或 （３.２） 称为一个维向量，简称向量. 一般，我们用小写的粗黑体字母，如等来表示向量，(3.1)式称为一个行向量，(3.2)式称为一个列向量.数称为这个向量的分量.称为这个向量的第个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量. 实际上，维行向量可以看成矩阵，维列向量也常看成矩阵. 下面我们只讨论实向量.设和为两个任意的常数.，和为三个任意的维向量，其中 ， . 定义 2 如果和对应的分量都相等，即 就称这两个向量相等，记为α＝β. 定义 3 向量 (a1+b1，a2+b2，…，an+bn) 称为α与β的和，记为α＋β.称向量 (ka1，ka2，…，kan) 为α与k的数量乘积，简称数乘，记为kα. 定义 4 分量全为零的向量 (0， 0， …， 0) 称为零向量，记为0.α与-1的数乘 (-1)α＝(-a1，-a2，…，-an) 称为α的负向量，记为-α.向量的减法定义为 α－β＝α＋（－β）. 向量的加法与数乘具有下列性质： （１）　α＋β＝β＋α；（交换律) （２）　（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（结合律） （３）　α＋0＝α； （４）　α＋（－α）＝0； （５）　k(α+β)=kα+kβ； （６）　（k+l)α=kα+lα； （７）　k(lα)=(kl)α； （８）　１α＝α； （９）　０α＝0； （１０）　k0＝0. 在数学中，满足(１)-(８)的运算称为线性运算.我们还可以证明： （１１）　如果k≠0且α≠0， 那么kα≠0. 显然n维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义，与把它们看作1×n矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地，我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算，这些运算与把它们看成矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的，并且同样具有性质(１)-(１１). §2线性相关与线性无关 通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行量组α１，α２，…，αs可以排列 成一个s×n分块矩阵 ， 其中αi为由A的第i行形成的子块，α１，α２，…，αs称为Ａ的行向量组.n维列向量组β１，β２，…，βs可以排成一个n×s矩阵Ｂ＝（β１，β２，…，βs），其中βj为Ｂ的第j列形成的子块，β１，β２，…，βs称为B的列向量组.很多情况下，对矩阵的讨论都归结于对它们的行向量组或列向量组的讨论. 定义 5 向量组α１，α２，…，αs称为线性相关的，如果有不全为零的数k１，k２，…，ks， 使 =k１α１+k２α２+…+ksαs＝0. （3.3） 反之，如果只有在k１= k２ = … =ks =0时(3.3)才成立，就称α１，α２，…，αs线性无关. 换言之，当α１，α２，…，αs是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵 (k１，k２，…，ks)使 . 当α１，α２，…，αs为列向量组时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵(k１，k２，…，ks)′使 . 显然单个零向量构成的向量组是成性的相关的. 例1 判断向量组 的线性相关性. 解 对任意的常数k１，k２，…，kn都有 k１ε1+k２ε2+…+knεn＝(k１，k２，…，kn). 所以 k１ε1+k２ε2+…+knεn =0 当且仅当 k1=k2=…=kn=0. 因此ε1，ε2，…，εn线性无关. ε1，ε2，…，εn称为基本单位向量. 例2 判断向量组 α１＝（１，１，１），　α２＝（０，２，５），　α3＝（１，３，６） 的线性相关性. 解 对任意的常数k１，k２， k3都有 k１α１+k２α２+ k3α3=(k１+k3，k１+2k２+3k3，k１+5k２+6k3). 所以 k１α１+k２α２+ k3α3=0 当且仅当 由于 k1=1，k2=1，k3=-1 满足上述的方程组，因此 １α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0. 所以α１，α２，α3线性相关. 例3 设向量组α１，α２，α3线性无关，β１＝α１+α２，β２＝α２+α3，β3＝α3+α１， 试证向量组