第8章 非均匀结构位移方程.docVIP

PAGE 11 PAGE 11 第8章 非均匀结构位移方程 §8.1 绪论 非均匀杆、板、壳、体结构的基本特点是受力合理，节省材料，构造新颖，适用性强，早已得到工程应用。但对非均匀结构的深入研究却是从二十世纪四十年代开始的。研究的问题多数属于非均匀直梁，对于非均匀板弯曲问题除了用数值方法（如有限差分法、有限元法和有限条法）外，几乎没有给出解析解和统一的方法。借助奇异函数处理非均匀梁问题较简捷，但也未能给出统一的解析结果。而且，对非均匀结构的处理多局限于小变形范围，难以适应工程应用中对任意变刚度的杆、板、壳、体结构的处理要求。 最初Macaulay提出用奇异函数fn(x)=(x-a)n解不同分段荷载作用下均匀梁的挠度问题，并规定两个负的指数[10]，除x=a（a为奇异点坐标）外，此函数一律为零；但在x=a处，其值为无穷大。该函数可积分如下：。其它函数的n≥0，当x＜a时，函数fn(x)的值是零；但只要x＞a，fn(x)的值就是(x-a)n ，该函数积分为 （8.1.1） 函数图形见于图3.3.2。当n=-2，表示单位集中力矩，当n=-1，表示单位集中力。当n=0，该函数在x=a处表示一个单位阶跃。当n=1,该函数表示从x=a开始的单位斜坡。利用奇异函数写出作用在简支梁上的荷载表达式，积分一次得剪力表达式，再积分一次，得弯矩表达式，继续完成两次积分，就能得到任一点的挠度和斜率。同样运用上述的梁挠度理论和方法也能求解超静定梁的问题（详见§3.3）。用奇异函数及其积分法能得到梁的完整的挠度曲线，若只需求某一点的挠度，则显得繁琐，不如用虚功原理导出的单位荷载法。 奇异函数方法能够准确地描述结构的非均匀性，系统而精确地表达工程实际中某些呈阶梯形变化的物理量的特征，并有助于寻求这类问题的一般理论解，也便于计算机编程。常用到的奇异函数是所谓的间断函数，能解决阶梯形变刚度直梁问题。早在1944年，C. L. Brown 就已运用它求解阶梯形梁的变形，较为简捷地获得整根梁的挠度方程，虽然仅限于求解划分为两段的阶梯形梁的变形。该法后来被推广到求解任意段阶梯形梁的变形，还利用来求解等厚度和台阶式变厚度薄圆板的轴对称弯曲问题[27]。由奇异函数的定义，利用分部积分法，可得下列的奇异函数的积分公式： （8.1.2）和 (8.1.3) 式中，xi,xj为奇异点坐标，xi＞xj；F(x)=∫f(x)dx。 对于图8.1.1所示阶梯形梁，若梁截面的惯性矩依次为I1、I2、…、In，则可将惯性矩的倒数表达为下列的阶梯函数，即 （8.1.4） 式中，β0=1/I1，β1=1/I2 - 1/I1，……，βj=1/Ij+1 – 1/Ij . 梁的挠曲线近似微分方程为 (8.1.5) 将式（8.1.4）代入式（8.1.5），利用式（8.1.2）积分一次，得梁的转角方程；积分两次，即可得到梁的挠度方程y(x)。 图8.1.1 阶梯形梁 图8.1.2 台阶式变厚度薄圆版 对于台阶式变厚度薄圆板（图8.1.2），设圆板的厚度h仅随r呈台阶式变化，分为n级。圆心处（r0=0）板的刚度为，则板的刚度倒数可仿照阶梯形梁的惯性矩倒数进行处理，表示成如下的间断函数[28]： (8.1.6) 式中，β1=1；βi=D1(1/Di – 1/Di-1)，i=2，3，…，n 。 将式（8.1.6）代入薄圆板轴对称弯曲的挠度微分方程： (8.1.7) 把上式欧拉方程改写成易于求解的形式： 连续积分四次，得挠度方程： 式中，积分常数A、B、C、F由边界条件确定，而特解： （8.1.8） 当变厚度薄圆板承受部分均布荷载，将上式右边的q(r)/D(r)写成奇异函数表达式： 代入式（8.1.8），积分四次后可得该问题的特解。 由于间断函数运算规则的复杂性，仅用一般的间断函数难以给出阶梯形变刚度结构的统一位移方程。下面以奇异函数方法为基础，同时定义了两类间断函数来研究非均匀杆、板、壳、体结构，给出了阶梯形变刚度杆结构在各种荷载作用下的统一位移方程，及其超静定结构的统一理论解答[29]，并由此推衍至变刚度板壳结构和多层材料弹性体的一般计算方法。 §8.2