第5章 二次曲线的一般理论.docVIP

PAGE －PAGE 69－ 第5章 二次曲线的一般理论 本章教学目的 学生在高中已经学习过二次曲线的标准方程和一些简单性质. 通过本章学习，要使学生在更加深入和系统的层次上掌握二次曲线及其相关的一般概念和各种几何性质，从总体上把握二次曲线的实质，熟悉化简二次曲线方程的方法，了解二次曲线的分类. 本章教学重点：（1）二次曲线与直线的关系，二次曲线的各种性质的讨论； （2）二次曲线方程的化简； 本章教学难点 （1）二次曲线的直径与切线的求法； （2）对二次曲线的渐进方向的理解，尤其是共轭直径的方向间的关系； （2）二次曲线方程的化简、同一二次曲线在新旧坐标系下图形的绘制. §5.1 复元素及若干重要记号的引进 1．绪论 二次曲线是一种重要的平面曲线．在平面直角坐标系或仿射坐标系下，这种曲线的方程总是一个关于x和y的二元二次方程，故统称其为二次曲线．二次曲线分为退化的和非退化的两大类，其中非退化的实曲线有椭圆（包括圆）、双曲线和抛物线3种．由于这3种曲线都可以看成一个平面与一个圆锥面的交线，人们也称其为圆锥曲线或圆锥截线． 本章的重点是详尽地讨论一般二次曲线的各种性质． 为了后面各章引用和讨论的方便，先对二次曲线的标准方程和一些简单的性质进行复习性的概述． 在复习了用标准方程表示的圆锥曲线之后，我们来讨论一般二次曲线． 在平面直角坐标系下，由二元二次方程 (1) 所表示的曲线，叫做二次曲线．其中二次项系数、和不全为零． 二次曲线中除了椭圆（包括圆）、抛物线和双曲线外，还有其他的曲线．当二次曲线的对称轴不与坐标轴平行，且二次曲线的中心或顶点不在坐标原点时，其方程一般不是标准的，形式比较复杂，表现为方程（1）中的各系数全不为零或很少为零．在本章，我们将讨论一般二次曲线的几何性质，给出二次曲线的中心、渐近线、直径、主直径和主方向等重要概念． 2．虚元素、无穷远元素及若干重要记号的引进 我们需要从研究直线与二次曲线的相交问题入手来认识二次曲线的某些几何性质．为了求直线与二次曲线的交点，就必须涉及到解二次方程的问题．因为二次方程的根可能是虚数，我们有必要像代数中引进虚数把实数扩充成复数那样，在平面上引进虚元素． 在平面上建立了笛卡儿坐标系之后，一对有序实数 (x，y) 就表示平面上的一个点，如果x和y中至少有一个是虚数，我们仍然认为 (x，y) 表示平面上的一个点，但把这样的点叫做平面上的虚点，而把x，y叫做这一虚点的坐标．相应地，我们把坐标是一对实数的点叫做平面上的实点．如果两个虚点的对应坐标都是共轭复数，那么这两点叫做一对共轭虚点，实点与虚点统称为复点． 当平面上引进了虚点之后，我们仍然可以讨论向量、直线等概念．设与为平面上的两复点，则称为以M1为始点、M2为终点的复向量，并记做，如果与中至少有一个为虚数，就称为虚向量；如果点M (x，y) 的坐标满足表达式 其中l为复数，我们就说点M分M1M2为定比l，特别地把点叫做线段M1M2的中点．我们把 叫做由两点和决定的直线的参数方程，式中t为参数，它可为任意的复数．消去参数t得 Ax ＋ By ＋ C = 0 称此方程为直线的一般方程，如果A，B，C与三个实数成比例，那么直线为实直线，否则叫做虚直线． 由于共轭复数之和为实数，所以连结两共轭虚点的线段的中点是实点．有时候，两条相交的虚直线的交点也是实点． 在平面上引进了虚点之后，曲线的方程中可能会出现虚系数．我们约定以后讨论问题时，只考虑实系数的曲线方程．但由于引入了虚点，实系数方程所表示的曲线上将可能含有许多虚点，甚至有的实系数方程所表示的曲线上只有虚点而无实点． 为了讨论某些特殊的问题，我们需要在平面上引入无穷远点和无穷远直线两个无穷远元素．我们认为，任两条平行直线在无穷远点相交，平面上所有的无穷远点构成无穷远直线．设x, y∈C，则能用坐标（x，y）表示的点称为有穷远点． 为了以后讨论问题和书写的方便，引进下面的一些记号： F (x，y ) ≡ F1 (x，y) ≡ F2 (x，y) ≡ F3 (x，y) ≡ ? (x，y) ≡ 根据这些记号的含义，可验证下面的恒等式成立： F(x，y) ≡ xF1(x，y) ＋ y F2(x，y) ＋ F3(x，y) (2.1－1) 称F (x，y) 的系数所组成的矩阵 为二次曲线（1）的系数矩阵，或称F (x，y) 的矩阵；而用F (x，y) 的系数所排成的矩阵 叫做F (x，y) 的矩阵．显然，二次曲线（1）的系数矩阵A的第一、第二与第三行的元素分别是F1(x，y)、F2(x，y) 和F3(x，y) 的系数． A和F *