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第三讲 方阵问题
知识导航
学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列。如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
核心公式:
1.总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)
2.外一层每边人数比内一层每边人数多2
相邻两层之间,每层的总数相差8
3.最外层每边人数=(最外层总人数÷4)+1
最外层总人数 = (最外层每边人数-1) ×4
4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
5. 中空方阵总个数=(每边个数一层数)×层数×4
例1:学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少
人?
解析:方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列
的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人)
整个方阵共有学生人数:16×16=256(人)。
【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方
阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人?
【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子
14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?
【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人,求这个正方形队列原来有多
少人?
【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚,最外边的一层共多
少枚棋子?
例2:参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这
个正方形队列减少一行和一列,则要减少33人。问参加团体操表演的运动员
有多少人?
解析:如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每
行、每列人数相等;最外层每边人数是5,去一行、一列则一共要去9人,
因而我们可以得到如下公式:
去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
解 :方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33,
则去掉的一行(或一列)
人数= 人
方阵的总人数为最外层每边人数的平方,
所以总人数为(人)
【巩固】 参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,
如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生?还剩下多少名学生?
例3:解放军战士排成一个每边12人的中空方阵,共四层,求总人数?
解法1:这样想:把中空方阵的总人数,看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。
(1)中实方阵总人数:12×12=144(人)
(2)第四层每边人数:12-2×(4-1)=6(人)
(3)空心方阵人数:(6-2)×(6-2)=16(人)
(4)中空方阵人数:144-16=128(人)
答:总人数是128人。
小结:中空方阵总人数=外边人数×外边人数-(内边人数-2)×(内边人数-2)
解法2:这样想:把中空方阵分成四个相等的长方形。
(1)每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8(人)
(2)每个长方形的宽是层数:4人
(3)总人数:8×4×4=128(人)
答:总人数是128人。
小结:中空方阵总人数=(每边人数-层数)×层数×4
【巩固】学校开展联欢会,要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面,
每边插7面。一共要准备多少面旗子?
例4:一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知
从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角
形边上栽有多少棵花?整个花园中共栽多少棵花?
解析:①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.
又知道每个小三角形的边上均匀栽9株,则大三角形边上栽的棵
数为:(棵)。
②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的,
所以大三角形三条边上共栽花:(棵)。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算
大三角形栽花棵数时已经计算过一次,所以小三角形每条边上
栽花棵数为:(棵)
解:大三角形三条边上共栽花:(棵)
中间画斜线小三角形三条边上栽花:(棵)
整个花坛共栽花:(棵)
答:大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽花69棵。
【巩固】同学们做早操,排成一个正方形的方阵,从前、后、左、右数,小明都是第5个,这个方阵共有多少人?
例5:小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子,
请问:最外边一层每边有多少枚棋子?
解析1:利用“相邻两层之间,每层的总数相差8”的特点,
可知最外层共有棋子数:
(200+8+8×2+8×3+8×4)÷5=56(个)
最外层每边的棋子数:56÷4+1=15(个)
解析2:如练习中的图,把棋子分成相等的四部分。
每一部分的棋子数:200÷4=50(个)
每一部分每排的棋子数:50÷5=1
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