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对称思想在二端电阻网络等效电阻中应用的探讨 作者简介：罗向东（-），，籍贯，工作单位职称，学位，简历-，上海中学工作。作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应。在教学实践中我感觉到，求解二端电阻网络等效电阻的问题，特别是复杂的二端电阻网络，利用对称思想，往往能避免复杂的数学演算和推导，直接揭示事物本质，有效解决物理问题。 例：电阻框架为四维空间中的超立方体在三维空间中的投影模型（可视为内外两个立方体框架，对应顶点互相连接起来），如图1所示，该结构中每条棱均由电阻R的材料构成，试求其任意两节点间的等效电阻。 一维空间“立方体”就是简单的一段直线，二维空间“立方体”是正方形，而对于四维空间“立方体”，由在第四维方向上用两个三维立方体并联，将对应顶点连接得到。其每个顶点与4条边相连，共有16个顶点，12+12+8 = 32条边。 对于一个四维空间“立方体”，可使用电流分布法中的输入、输出电流线性分解，令由某一顶点A输入电流I，从16个顶点各输出。由对称性可知，连接顶点A的4条边的另一端点电势都与B点的电势φB相等，而接下来从这4个顶点的每一个又都引出了3条边，共12条边。每条边的另一端顶点电势又都与C点电势φC相等，这样的点共6个。以此类推，之后有12条边，连有4个顶点，电势φD。最后引出4条边，连接于E点。图2是四维空间“立方体”平面展开后的情形，其一共有5个不同的电势节点。 从电流分布看，流过A、B之间的电流，由于电势φB的节点有4个，每个节点流出，所以流过B、C之间的电流。 同理，电势φC的节点有6个，流过C、D之间的电流 ， 流过D、E之间的电流。 现在试求A、B间的等效电阻RAB。可再令由顶点B输出I，从16个顶点各输入，这时的电流分布与之前从顶点A输入电流I的电流分布情况相同，只不过两者的电流的流向相反。利用电路的叠加原理，等效于在A、B二端加上电压UAB，流过二端电阻网络的电流IAB = I，除A、B两个顶点之外的所有顶点，输入、输出的电流互相抵消，叠加后为零， ， 由欧姆定律，。 若求A、C间的等效电阻RAC，则令由顶点C输出I，从16个顶点各输入，利用叠加原理和欧姆定律即可求得。 ， 。 同理，，。 通过上面的例子，使得我们对对称性的认识具体化了。更为复杂的四维以上的空间“立方体”二端电阻网络，就需要排列组合等更多的数学知识，但原理相同，不再例举了。再如三维空间的正多面体二端电阻网络，图3、图4为正十二面体、正二十面体，相邻两个顶点间的电阻分别为、[1]。在处理二端无限电阻网络问题时，其基本思路也大致相同。如图5为一无限大平面电阻网络，由大小相同的正六边形网格组成，则相邻两个顶点间的电阻为。 除了明显的具有对称性网络之外，另一种是需要通过变化才能显现出较好对称性的网络。这是在掌握了对称思想在此类问题的应用之后，拓展开去的。 例：如图6所示是一个由正三角形和正六边形组成的平面无限电容网络。网络内的正三角形每边上有一个电容为C/3的电容器，除AB边以外，正六边形每边上有一个电容为C的电容器。AB边上有一个电容为2C的电容器。求A、B两个顶点间的等效电容[2]。 本题是一个含有正三角形和正六边形两类不同形状的电容网络，而且每条边上的电容也不同，但仔细观察就会注意到，除AB间的电容外，这个电容网络是一个关于某一最小单元的具有对称性的网络。在二端电阻网络的电流分布法的启发下，若将网络转化为每条边的电容都相等的完全对称网络，问题就可以解决了。沿着这条思路，容易想到电阻的星角变换，从而拓展到电容的星角变换，同样要遵循等效的原则。如图7中（a）、（b）两个电容等效，要求CAB = Cab，则必须 ， 3C1 = C2。 将图6中所有的三角形都转变成星形后，原二端电容网络就成为了每条边都为电容为C的正六边形无穷电容网络（AB边除外），如图5所示。如果将AB间的电容2C等效替换成2个电容都为C的电容器并联，那么整个网络的等效电容就为1个完全对称的正六边形无穷电容网络的相邻二顶点间等效电容与1个电容为C的电容器并联。设每条边的容抗为k/C，参照正六边形无穷电阻网络的解法，完全对称正六边形无穷电容网络相邻二顶点间等效容抗为，即其等效电容为。 AB间等效电容为。 从以上例子可以看出，对称思想是我们解决问题的出发点和落脚点。很多时候，一个复杂的电阻网络，不可能直接使用我们通常所用的基本解法，如欧姆定律和基尔霍夫定律，否则就会陷入大量运算的陷阱之中。原则上，最基本解法可以解决所有二端电阻网络问题，但在考试时，我们没有时间和精力那么做。虽然复杂电阻网络的形式多种多样，千变万化，但也有章可循，特别是当复杂的电阻网络明显具有对称性时，利用电流分布法，再根据叠加原理进行分部处理，化繁为简，问题也就迎刃而解。在物理教学时，如果善于从对称思想剖析物理