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2015年全国高中数学联合竞赛A卷 2015年9月15日 意琦行 数海拾贝 一试 一、填空题 本小题共8小题，每小题8分，满分64分． 1、设a, b 是不相等的实数，若二次函数f (x) = x2 + ax + b 满足 f (a) = f (b) ，则f (2) 的值为_______． 1 2、若实数 满足 ，则 4 的值为_______． α cos α = tan α + cos α sin α 3、已知复数数列 满足 ， ¯¯¯¯¯ ，其中 {zn } z1 = 1 zn+1 = zn + 1 + ni ¯¯¯¯¯ ，其中 是虚数单位， 表示 的共轭复数，则 n = 1, 2, ⋯ i zn zn z2015 的值为_______． 4、在矩形 ABCD 中， AB = 2 ， AD = 1 ，在 DC 边上（包含点 、 ）的动点 与 延长线上（包含 ）的动点 满足 D C P CB B Q −−−→ −−−→∣ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ ∣ ∣ ∣ ，则向量 与向量 的数量积 的最小值 ∣DP ∣ = ∣BQ ∣ PA PQ PA ⋅ PQ 为_______． 5、在正方体中随机取 条棱，它们两两异面的概率为________． 3 6、在平面直角坐标系xOy 中，点集 | K = {(x, y) (|x | + |3y | − 6) (|3x | + |y | − 6) ⩽ 0} 所对应的平面区域的面积为_______． 7、设 为正实数，若存在 （ ），使得 ω a, b π ⩽ a b ⩽ 2π ，则 的取值范围是_______． sin ωa + sin ωb = 2 ω ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 8、对四位数abc （ 1 ⩽ a ⩽ 9 ，0 ⩽ b, c, ⩽ 9 ），若a b ， ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ， ，则称 为 类数，若 ， ， ， b c c abc P a b b c c ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 则称 为 类数．用 与 分别表示 类数与 类数 abc Q N (P ) N (P ) P Q 的个数，则N (P ) − N (Q) 的值为_______． 二、解答题 本