求空间的角的方法.docVIP

求空间的角的方法 空间的角的计算是高考命题的热点之一，在高考中，年年有，次次有，解决这些问题的关键是理解线线角、线面角、面面角的定义作出有关的角，然后抓做有关的三角形来解决，题型多为选择题与填空题。 知识要点：空间角的计算步骤：一作、二证、三算 作为空间的角、我们主要研究了两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角。 .异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90°求异面直线所成的角的主要方法是通过平移法①平移法作出异面直线所成的角，然后放到三角形中，利用三角形关系求角的大小。在平移之前可先考虑两条异面直线是否垂直。②补形法. 根据定义，可从空间任取两条异面直线之一的端点，引另一条异面直线的平行线，或通过中位线性质来求异面直线所成的角。或用向量夹角公式求两条异面直线所成的角 3． 直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90°求直线与平面所成的角的一般步骤（1）确定直线和平面的交点即斜足；（2）经过斜线上的斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面上的射影，（3）求解由垂线，斜线及其射影构成的直角三角形，在三角形中求角的大小。关键是作垂线，找射影. 关于线线角、线面角、下面的两个结论经常用到： 已知PA与PB分别是平面α的垂线和斜线，在平面α内过斜足任意引一直线BC，设∠PAB=θ，∠ABC=α，∠PBC=β，有公式cosβ=cosθcosα； 经过一个角的顶点作这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的角平分线。 确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上： = 2 \* GB3 ②如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么在这一点在平面上的射影在这个角的角平分线上。 = 3 \* GB3 ③两个平面互相垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； = 4 \* GB3 ④利用某些特殊三凌锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影位置。 求直线与平面所成的角还可以用利用法向量来求：若平面?的法向量为，则直线AB与?所成角的大小为：； 二面角的求法 ①求二面角的大小，是将它们转化为平面角来度量，在求二面角的度数时，我们常需进行三方面的工作： 根据定义或其他方法构成出要计算的角θ； 指明哪个角是二面角的平面角； 作出含有角的三角行，解此三角形，计算角θ的值； = 2 \* GB3 ②作出二面角的平面角的一般方法 定义法：在 棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角，若已知二面角的两个面是两个特殊的三角形（如以棱为公共边的两个等腰三角形或相棱两边是对应的两个全等三角形）这时可以选取棱上的一个特殊点，如公共边的中点或公共底边上的高的垂足，从特殊点除发根据定义作出二面角的平面角。 三垂线定理法 自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，得到棱上的点（即斜足），斜足与面上一点连线，和斜足连线所夹的角即为二面角的平面角。这种方法主要是找射影点，一般根据两个平面垂直的性质定理，经过二面角内一点的 垂直于棱所在的一个平面。 作垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 射影面积公式： S/=Scosθ（S为原斜面面积，S/为射影面积，θ为斜面与射影面所成二面角的平面角）这个公式对于斜面为三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法，当作二面角的平面角有困难时，如果能找到斜面面积和射影面积，可直接应用公式求出二面角的大小。特别是图中没有两个平面的的交线时可以考虑用这种方法 向量法： a??若平面?、?的法向量分别为，则二面角 a ? ? ?—a—?的大小为：或； 如果在题中的条件比较好建立空间坐标系，可以考虑用这种方法。 空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想. 1．如图，α—l—β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角. (1)求证：MN分别与α、β所成角相等； (2)求MN与β所成角. (1)证明：作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD. ∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA. 在Rt△MPB与Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA. 在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边