极值和条件极值.docVIP

CH 15 极值和条件极值 1．极值的定义 若函数在点的邻域内成立不等式 (或) 就称在点取得极大值(或极小值),点称为函数的极大值点(或极小值点) 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点. 2．函数取得极值的必要条件 设函数在点具有偏导数,且在点处具有极值,则,. 3．二元函数极值存在的充分条件 设函数在点的邻域内具有一阶及二阶连续偏导数,又,,令,,,则 (1)时有极值,且当时有极大值, 时有极小值; (2) 时没有极值; (3) 时可能有极值,也可能无极值. 4．二元函数在约束条件下极值的求法 从条件方程 中解出,带入,即化为一元函数的无条件极值问题. Lagrange乘数法:作 (为参数),在从方程组,,中解出就是可能的极值点. 例1．数在条件下的极值。 解：令 得 （1） 又 （2） （3） 由（1）得 当时得 故得，代入（2）（3）式得 解得稳定点 。 由对称性得也是稳定点。 下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。 （1）通过判别最值来求极值。 注意约束集为单位圆，是有界闭集，故在其上必有最大（小）值，且最值必在稳定点达到。比较稳定点的函数值： 最大者为极大值，最小者为极小值。 （2）用无条件极值得充分性判别 令 则 ，故在点的某邻域，方程组可唯一地确定可微函数组。 方程组两边对求导，得 再求导，得 将点代入，解得 又 故是极小值点，是极大值点。由的对称性知，是极小值点，是极大值点。 极小值， 极大值。 （3）用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时，所有变量是独立的，但应满足约束条件的微分在的关系式： 因为 在点 即 又满足稳定点方程 得 故 所以是极小值点。由的对称性知，也是极小值点，是极大值点。 极小值， 极大值。 例2．将长度为的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形、和等边三角形。问如何分法，才能使这三个图形的面积之和最小。 解：设分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积 满足约束 。 令 解得 约束集为有界闭集，故在其上必有最小值。在边界上，即解下列三个条件极值问题： 稳定点分别是 函数值分别是 又 比较上述7个函数值得，最小值为 下面再用无条件极值的充分性判别。 约束条件可确定。方程两边分别对求导，得 故稳定点是极小值点。从而是最小值点。 从几何上看，当是一常数时，是一椭球面，而约束条件给出一个平面在第一卦限的部分。当逐渐增大，首次与平面接触一点时，达到最小值。当继续增大时，的最大值必在平面与坐标轴的交点上达到。