条件最值与条件不等式.docVIP

PAGE PAGE 3 专题五 条件最值与条件不等式 不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍条件最值与不等式的一些解题技巧问题。 条件决定方法。 【例1】 已知a＞0，b＞0且a+2b=1，求ab的最大值. 解： 启发: 条件改为a，b∈R,如何求ab的最大值. 例2. 已知，且，求证： 三角换元法：把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决 证明：设，其中 则 原不等式得证。 例3. 已知且，求证： 均值换元法：使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效 证明：因为且所以设 则： =（5/2+t）2+（5/2-t）2=25/2+2t2 所以原不等式得证。 例4. 已知，求证： 增量换元法：若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一个变量。 证明：设 显然 则 故 （二）目标决定方向 【例5】已知，求证 证明： 例6若 ，求证 （三）技巧决定成败 例7已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：（1 ）+ + ≥9，（2）a2+b2+c2≥ 。　　分析：利用基本不等式，采用综合法解决问题。 　　（1）证法一： + + = + + =3+ + + + + + ≥3+2+2+2=9。 　　证法二：∵ 1=a+b+c≥3 ，∴ abc≤ ，∴ ≥27， 　　∴ + + ≥3 ≥3 =9。 　　（2）∵ 1=a+b+c， 　　∴ 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 　≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)=3(a2+b2+c2)。 　　∴ a2+b2+c2≥ 。 例8、已知x，y，z均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)≥2。 解题思路分析：　　这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。　　(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。 　　将y(x+y+z)，xz分别看成是两个因式，得用基本不等式： 　　y(x+y+z)+xz　=　 当且仅当 时等号成立 例9.设=，当时，总有，求证：。 证明：∵，∴，，，又∵∴ 所以，∴=7。 点评：本题是一道函数与绝对值不等式综合题，学生不能找到解题的突破口，关键在于找到a，b，c与f（0），f（1），f（-1）的联系，再利用绝对值内三角形不等式适当放缩。 巩固练习1若a、 b是不相等的两个正数，求证：+ 2. 若2a2+6b2=3，求证：｜a+b｜≤. 3. 证明：若x0,y0,x+y=1，则 4. 已知a＞0,b＞0,c＞0，且a+b+c=1求证： 5. 若a1, 求证a3a+-2. 6.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd. 7. 设a、b、c ∈R，a + b + c=0，a b c＜0.求证: 8. 已知1≤x2+y2≤2，求证：≤x2-xy+y2≤3 9. 当1＜a＜b时，求证：a b-1＞b a -1 .