恰当代换 简洁解题.docVIP

PAGE PAGE 2 恰当代换 简洁解题 王远征 广东省深圳市蛇口中学（518067） 文（1）利用数形结合的思想方法，对函数的值域，通过作出对应的二次曲线的方式，清晰地给出了值域的几何意义的直观解释。读后受益匪浅，从而激发了笔者对文（1）求无理函数值域方法的进一步的思考。 数学解题的实质是一个对面临的数学问题逐步转化的过程，使之熟悉化、简单化。那么，在数学解题过程产生的求简意识，就是人们数学审美情感的自然流露。本文从数学审美的角度，对文（1）中的两道例题给出简洁的解答，旨在呼唤我们自觉地遵循数学的审美要求，在解题过程中发现美，创造美，使我们的解题过程简洁明了、思路和谐优美。 求函数的最大值和最小值。 分析：注意到被开方数是非负数，即，于是，则可设，。这样就可以将无理函数转化为三角函数，并借助三角函数的单调性获解。 解答：因为，即，所以可设，（） 则原函数为，即： 因为，所以， 于是。 函数的最大值和最小值分别是和。 评注：对形如或者的根式，利用三角代换，将原无理函数转化为三角函数，再利用三角函数的有界性使问题获解。 一般地，当变量的取值范围是时，用正弦或余弦代换；当变量的取值范围是 （－∞，＋∞）时，用正切或余切作代换等等，应根据具体问题作相应的三角代换。 对，令，则； 对，令，则； 对，令，则；即可将根式转化为有理式。 此外，将原无理函数转化为三角函数后，还可利用数形结合的思想方法求函数的值域（或最值）。 已知函数分别在： ， 上，求它的值域。 分析；根式转化为有理式是解题的关键，设，则，，代入原函数式，即可转化为我们所熟悉的二次函数在指定区间上的求最大（小）值的问题。 解答：设，则，，代入原函数式得： 当时，则，函数只有最大值，无最小值。 即当，时，，所以值域为 当时，则，函数只有最大值，无最小值。 即当，时，，所以值域为 一般地，对形如的无理函数，求它的值域，可设，将其转化为我们所熟悉的二次函数在指定区间上的求最大（小）值的问题（）。 参考文献 程德吾 例谈函数值域的几何意义。中学数学教学2004（5）p39—40 作者：王远征 地址：广东省深圳市蛇口中学 邮政编码：518067 e—mail:wyzchg@126.com 电话：0755-