平面几何与解析几何.docVIP

PAGE 2 PAGE 9 一. 平面几何与解析几何 平面几何(plane geometry)是古希腊的玩意儿，在公元前三百年便由欧几 里得(Euclid)编辑成书，所以又叫做欧几里得几何(Euclidean geometry)，只 准用圆规及直尺在平面上游戏.注意圆绝对圆，直线绝对直，在世间无，因此平面几何象古希腊的哲学(爱智之学)，是心想而没有物质的；实用的几何则是近似的. 平面几何是数学的一支，研究“如果甲则乙”. 例：等腰等角定理（isosceles isogonal theorem)或等腰定理：如果[三 角形两边相等]则[对角相等]. 已知：在中，求证： 已知：在中， 求证： （问：为什么要“求”？ 答：寻求而非乞求. ） 证明：考虑及：， .（已知） 图 1--1 故 ， 从而 . （的对角）证毕. 已证的结果叫定理，可以留作后用，例如（边角边）是定理，在讨论 上例前已证. 再举一例：（毕氏定理(Pythagorean theorem)的逆(converse)定理）给出中，三边的长依惯例分别用来表示. 图 1--2 已知. 求证： 证明：（可用余弦定理证或） 作,使,， . 以表示. 因 （毕氏定理） 及 ， （已知） ，（取代） 从而 =. 所以 ，（对应角） 即 . (取代）证毕. 毕氏为希腊人毕达哥拉斯（Pythagoras)的简译，他生于公元前五百多年 ，他的学派创立了推理法或演绎法（deduction），用它证明了毕氏定理，由此发现了无理数（irrational number）：设上面的，且=一单位（ 单位可任选），则为. 暂设为有理数（rational number），即 , (1) 其中为正整数.我们可以消去的公因子，即假设互质（relatively prime）：没有大于1的（正整数）公因子. 由（1）得 . (2) 两边都可以分解因子至质数，即除自己外没有大于1的因子；不计乘法的顺序，这种分解至质数积的式子是唯一的，从而由（2）知含因子：， 其中为正整数.这样(2) 其中为正整数.这样(2) 可写成.再作的质数 因子分解，知也可被整除， 与互质的假设矛盾.回顾， 除（1）外，步步有理，故（1） 不成立，即不是有理数. 证毕. 图 1--3 上面提到正整数分解为质数积的结果叫做“唯一析因定理”（unique factorization theorem），它与物理、化学里将物分解为分子、原子……类 似.我们也可倒过来用质数积造数，例如用造；这样，我们便知道将一个任意的三位数重复写，所得的六位数能被整除，而且商是！ 无理数的名称反映了保守派的势力.我们管毕氏定理叫勾股定理，是否也嫌 保守，忽略了希腊人创立演绎法的里程碑？问：在我们的勾股定理及四大发明后面有什么突出的方法？在它们前面又有什么远大的理想？[古印度人也会证毕氏定理:用 图 1--2作四边形AB’C’C, B, A’ 在 CC’ 內同一点. 梯形AB’C’C 的面积为 (b+a)(a+b)/2; 用直角三形角分算,得 ba/2+cc/2+ab/2. 故.] 当他人沉溺于几何国中，笛卡儿（Rene，Descartes，1596--1650）用两条轴来决定一点,轴垂直于y轴,叫直角坐标 当他人沉溺于几何国中， 笛卡儿（Rene，Descartes，1596--1650） 用两条轴来决定一点,轴垂直于y轴, 一方面将平面几何化简为“代数”或解析几何（analytic geometry）,另一方面，三维、四维、…、n维空间的观念也自然地接踵而来： 是实数 表示维向量空间（n-dimensional vector space）. 在中引入社会结 构数积（scalar multiplication）、点加（pointwise addition）及点积 （dot product）: , , 其中,,都是实数,叫数量、纯量或标量（scalar），分别是点（point）或向量（vector）的第一、第二、…、 第 第坐标. 回到，