平面向量与三角、几何.docVIP

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 　平面向量与三角、几何 莱阳九中 赵东 向量由于具有几何形式和代数形式的双重身份，能融数形于一体，它既有代数的运算性质，又有几何的图形特征，它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项学科内容的媒介．因此以向量的相关知识为载体，以数形结合方法为主线，在知识网络交汇点处设计创新力度较大、综合性较强的试题，已成为近年来高考命题的一个新亮点。解题应对策略：1.要注重向量的基本概念，基本运算，对概念要理解深刻到位，运算要准确，特别是向量平行、垂直充要条件(含坐标运算形式)。2.要注重向量与三角和解析几何等学科的有机整合．　　一、平面向量与三角 当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关三角函数的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种： ①利用向量平行或垂直的充要条件， ②利用向量数量积的公式和性质. 例1.知向量a=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ). 且0αβπ。 　　(1)求证：(a+b)⊥(a-b); 　　(2)若 ka+b与a-kb 的模相等，求β-α的值（k为非零常数）。 　　证明：(1) ∵ a·b=b·a, 　　(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-1=0, 　　∴ (a+b)⊥(a-b). 　　(2) ∵ |ka+b|=|a-kb|, 　　∴ (ka+b)2=(a-kb)2, 　　∴ k2a2+2ka·b+b2=a2-2ka·b+k2b2, 　　即 (k2-1)(a2-b2)+4ka·b=0, 　　∵ a2=b2=1, k≠0, 　　∴ a·b=0, 　　又a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(β-α)， 　　∴ cos(β-α)=0，又 0αβπ，∴ 。 例2.已知向量a=(2cosα, 2sinα)，b=(3cosβ, 3sinβ), a与b的夹角为 600，直线 与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2= 的位置关系是(　 ). 　　(A)相切　　(B)相交 　　(C)相离　　(D)随α、β的值而定 　　解： ∵ a·b=2cosα·3cosβ+2sinα·3sinβ=6cos(α-β)， 　　又 a·b=|a| |b| cos60°=3, 　　∴ , 　　又圆心(cosβ, -sinβ) 到直线xcosα-ysinα+ =0的距离： 　　 ， 　　∵ ， 　　∴ 直线与圆相离，选C． 　　二、平面向量与解析几何 由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以可以在向量与解析几何知识的交汇处设计题目。 例3.如图,已知∠RPM= ，定点R的坐标为（0,-3），直角顶点P在x轴上，线段PM交y轴于点Q，且 。 P在x轴上移动时，求动点M的轨迹E。 　　 　　解：设P(a,0), Q(0,b), M(x,y), 则 　　 ， 。 　　由∠RPM= ，知 ，∴ ，即a2-3b=0...① 　　又 ，∴ ， 　　即 ，代入①，得x2=4y。　　而当x=0时，y=0，此时P、Q、M三点重合，不合题意。 　　∴ M的轨迹方程为x2=4y(x≠0)。 例4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1),B(-1,3)，若点C满足 ，其中α，β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ 　）。 　　(A) 3x+2y-11=0　　 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 　　(C) 2x-y=0　　　　 (D) x+2y-5=0 　　解：设点C的坐标为(x ,y) 　　∵ ,　α+β=1, 　　∴ (x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α-β, α+3β)=(4α-1, 3-2α), 　　∴ 　　消去α，得x+2y-5=0，选D。 针对性练习：（45分钟） 1.向量a=(cos23°,cos67°), b=(cos68°, cos22°), 且u=a+tb(t∈R)，则|u|的最小值为______。　　2．将函数f(x)＝2x 的图象按a平移后，得函数f(x)＝2x+6的图象，则符合要求的a的坐标是_________. (填上你认为正确的一个即可). 　　3．设O是平面上一定点 , A、B、C是平面上不共线的3个点，动点P满足 , λ∈[0,+∞]；则P的轨迹一定通过ΔABC的(　 ) 　　(A) 外心　　 (B) 内心 　　(C)重心　 　(D)