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接触问题有限单元法平衡方程为 可写成 简记为 其中 第十章 结构非线性分析的有限单元法简介 10.5.3 接触对坐标系及接触条件 （1）接触对坐标系 接触问题中，最重要的区域是接触部分。把在两个或多个结构相连的区域，受到的某些表面的位移和力的限制，叫做接触条件。通过接触条件，可判断出两个或多个结构之间是以什么接触状态相联系的。一般，将接触状态分成三类，即分离（自由）接触、粘结接触和滑动接触。 接触条件在接触面的局部座标下表示比较方便。 （2）接触条件 ① 分离（自由）接触 ② 粘结接触 ③ 滑动接触 第十章 结构非线性分析的有限单元法简介 滑动 分离 粘结 滑 动 滑动 分离 粘结 粘 结 接触 分离 分 离 判 断 条 件 状态 接触状态判断条件 第十章 结构非线性分析的有限单元法简介 10.6 非线性弹性稳定性问题 10.6.1 稳定问题分类 随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称为失稳。 (a) 焊接梁整体失稳 (b) 焊接梁受压翼缘板和 腹板局部失稳 (c) 格构式柱受压失稳 图10-11 常见的工程失稳形态 返回章节目录 第十章 结构非线性分析的有限单元法简介 结构的失稳有两种基本形式。分支点失稳和极值点失稳。 （1）分支点失稳 图10-12(a)所示为中心受压简支压杆，图10-12(b)为压力载荷P与中点挠度f的关系曲线．称为P—f曲线或不平衡路径。 (a) 中心受压杆 (b) P—f曲线 图10-12 分支点失稳 第十章 结构非线性分析的有限单元法简介 当荷载值 时，压杆只是单纯受压，不 发生弯曲变形，压杆处于直线形式的平衡状态（称为原始平衡状态）。P—f 曲线中OAB，称为原始平衡路径（路径Ⅰ）。如果压杆受到轻微干扰而发生弯曲．偏离原始平衡状态。当干扰消失后．压杆仍又回到原始平衡状态。在原始平衡路径1上只有唯一的平衡形式，点A所对应的平衡状态是稳定的。 当荷载 时，原始平衡形式不再是唯一的，压 杆既可处于直线形式的平衡状态，还可处于弯曲形式的平衡状态。 图10-12(b)中有两条不同的P—f曲线。原始平衡路径Ⅰ （直线BC）和第二条平衡路径Ⅱ。这时原始平衡状态（C点）是不稳定的。如果压杆受到干扰而弯曲，则当干扰消失后，压杆并不能回到C点对应的原始平衡状态，而是继续弯曲．直到图中D点对应的弯曲形式的平衡状态。 第十章 结构非线性分析的有限单元法简介 两条平衡路径Ⅰ和Ⅱ的交点B称为分支点。 具有这种特征的失稳形式称为分支点失稳形式．分支点对应的荷载称为临界荷载．对应的平衡状态称为临界状态。分支点失稳又称为第一类失稳。 （2）极值点失稳 具有初始曲率的压杆和承受偏心载荷的压杆，见图10-13(a) ，称为压杆的非完善体系。 它们从一开始加载就处于弯曲平衡状态。 按照小挠度理论，曲线OA为其P—f 曲线，见图 10-13(b)。初始阶段挠度增加较慢，以后逐渐变快，当 P接近中心压杆的欧拉临界值 时，挠度趋于无限大。 此时，在原始平衡路径Ⅰ上，点C所对应的平衡状 态是不稳定的。 第十章 结构非线性分析的有限单元法简介 按照大挠度理论，压杆挠度沿着曲线OBC变化，B点为极值点，载荷达到极大值。压杆在曲线段OB的状态是稳定的，在极值点以后的曲线段BC．其相应的载荷值反而下降，平衡状态是不稳定的。极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡．这种失稳形式称为极值点失稳。其特征是平衡形式不出现分支现象，P—f曲线具有极值点。极值点相应的载荷极大值称为临界荷载。极 值点失稳又称为第二类失稳。 工程问题多属于第二类失稳问题。 (a) 偏心受压杆 (b) P—f曲线 图10-13 极植点失稳 第十章 结构非线性分析的有限单元法简介 由势能原理导出的结构稳定问题的原始平衡方程式为 在非线性有限元分析中．必须用增量法求解极值稳定性问题。即是求 的渐近解。 利用几何刚度矩阵求解欧拉稳定性问题时，归结为求解广义特征值 的问题。 总之，非线性弹性稳定性问题归结为极值稳定的增量法求解，以及求欧拉稳定的广义特征值解的问题。 第十章 结构非线性分析的有限单元法简介 10.7 非线性分析特点 非线性分析的一些主要特点，概括如下： a．结构的非线性分析需要同时使用平衡、变形协调条件和应力应变