14.数列的概念与简单表示法(二)导学案新人教A版必修5.docVIP

§2.1　数列的概念与简单表示法(二) 课时目标 1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 3．了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列． 1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 2．数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值． 3．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1an，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1an，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题 1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数项 D．不能确定 答案　A 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n，nN* B．an＝an－1＋n，nN*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，nN*，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，nN*，n≥2 答案　B 3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列第4项是(　　) A．1 B. C. D. 答案　B 4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　a1a2a3＝32，a1a2＝22， a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42， 则a3＝＝，a5＝＝. 故a3＋a5＝. 5．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 010的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列， 又知2 010除以3能整除，所以a2 010＝a3＝. 6．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是(　　) A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30 答案　C 解析　an＝ ＝＋1 点(n，an)在函数y＝＋1的图象上， 在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图象， 由图象易知 当x(0，)时，函数单调递减． a9a8a7…a11， 当x(，＋∞)时，函数单调递减， a10a11…a301. 所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9. 二、填空题 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________. 答案　3·21－n 8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(nN*)，则使an100的n的最小值是________． 答案　12 9．若数列{an}满足：a1＝1，且＝(nN*)，则当n≥2时，an＝________. 答案　 解析　a1＝1，且＝(nN*)． ··…· ＝···…·， 即an＝. 10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，nN*，则实数λ的最小值是________． 答案　－3 解析　an≤an＋1n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1) λ≥－(2n＋1)，nN*?λ≥－3. 三、解答题 11．在数列{an}中，a1＝，an＝1－ (n≥2，nN*)． (1)求证：an＋3＝an；　(2)求a2 011. (1)证明　an＋3＝1－＝1－ ＝1－ ＝1－＝1－＝1－ ＝1－(1－an)＝an. an＋3＝an. (2)解　由(1)知数列{an}的周期T＝3， a1＝，a2＝－1，a3＝2. 又a2 011＝a3×670＋1＝a1＝，a2 011＝. 12．已知an＝ (nN*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由． 解　因为an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1) ＝n＋1·＝n＋1·，则 当n≤7时，n＋1·0， 当n＝8时，n＋1·＝0， 当n≥9时，n＋1·0， 所以a1a2a3…a7a8＝a9a10a11a12…， 故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝. 能力提升 13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，nN*，则通项公式an＝________. 答案　－ 解析　an＋1－a