参变量函数的导数.docVIP

§3 参变量函数的导数 教学目的与要求： （1）、熟悉含参量函数的求导法则，并熟练进行此类函数的导数运算。 （2）、会求由参数方程所给出的函数的导数，并注意与其它法则的综合应用。 教学重点、难点： 含参量函数的求导方法 教学内容： 1、引言 平面曲线C一般的表达形式是参变量方程 （1） 表示。这样，对于一般直角坐标下的函数方程求导公式就不再适合。必须给出参数方程相应的求导公式。 2、参数方程求导公式 设对应曲线C上的点P，如果在点P有切线，那么切线的斜率可由割线的斜率取极限而得，为此设在点可导，且。若对应C上的点Q（图5-5），割线PQ的斜率 ， 于是曲线C在点P的切线斜率是 其中为切线与轴正向夹角．若，但，同样可得 若在上都存在连续的导函数，且这时称C为光滑曲线。其特点是在曲线C上不仅每一点都有切线，且切线与轴正向的夹角是的连续函数。 若具有反函数那么它与构成一个复合函数 这时只要函数可导，（因而当时，也有和），就可由复合函数和反函数的求导法则得到 （2） 例1 试求由上半椭圆的参量方程 所确定的函数的导数。 解 按公式（2）求得 □ 3、极坐标方程求导公式 若曲线C由极坐标表示，则可转化为以极角为参量的参量方程： 这时在相应的条件下可得 （3） （3）式表示在曲线上的点M（）处的切线MT与极轴轴的夹角的正切（图5—6）。 过点M的射线OH与切线MT的夹角的正切则是 （4） 将（3）式代入（4）式则得向径与切线夹角的正切 例2 证明：对数螺线（图5—7）上所有的点的切线与向径的夹角为常量。 证 由（5）式得，对每一值都有 即在对数螺线上任一点的切线与向径的夹角等于 □ 注 分清求导的对象，即到底是关于哪个变量求导。 复习思考题、作业题： 1(1)、2、3(1)