三角形内角和定理及其推论的应用.docVIP

三角形内角和定理及其推论的应用 本文将三角形内角和定理及其三个推论在解题中的应用介绍如下． 一、要点归纳 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°． 推论1 直角三角形的两个锐角互余． 推论2 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论3 三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 二、应用举例 例1 △ABC中，如果∠A+∠B=2∠C，∠A≠∠B，则∠C= 60°． (1998年江苏连云港市中考试题) 解：∠A+∠B+∠C=180°(定理)，又∠A+∠B=2∠C，故3∠C=180°． 因而∠C=60°． 例2 如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点．过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F．求证：AE=AF． (1997年上海市中考试题) 证明：∵FD⊥BC于D， ∴∠B+∠F=90°．∠C+∠1=90°(推论1)． ∵AB=AC． ∴∠B=∠C(等边对等角)， ∴∠F=∠1(等角的余角相等)． 又∵∠1=∠2(对顶角相等)， ∠2=∠F(等量代换)． AE=AF(等角对等边)． 例3 如图，AB∥CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°，则∠BED等于_______． (1998年山东省中考试题) 解：如图，延长BE和CD交于F，则∠BED=∠F+∠EDF(推论2)． ∵∠CDE+∠EDF=180°(平角定义)，∠CDE=152°， ∴∠EDF=28°． ∵AB∥CD， ∴∠ABE+∠F=180°(两线平行，同旁内角互补)． 又∠ABE=130°，故∠F=50°． ∴∠BED=28°+50°=78°． 例4 如图，已知P是△ABC中任意一点．求证：∠BPC＞∠A． 证明：延长CP交A B于D，则∠BPC＞∠1(推论3)． 又∠1＞∠A(推论3)， ∴∠BPC＞∠A(不等式的性质)， 例5 如图，△ABC中，∠ABC=α，∠ACB=β，α＜β．AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，且AD、BE相交于O，从O点作OG⊥BC，G为垂足，则∠DOG= [ ] 解：连结OC ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴OC也平分∠ACB． ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(定理)， ∴∠BAC=180°-α-β 又∠ADG是△ABD的外角， ∴∠ODG=∠BAD+∠ABD ∵OG⊥BC，△OGD是直角三角形， ∴∠DOG+∠ODG=90°(推论1)． ∴∠DOG=90°-∠ODG； 故选A． 练习题 2．Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则∠ACD=∠B，∠BCD=∠A．(推论1) 3．已知：如图，O是△ABC内一点． 求证：∠AOB=∠1+∠2+∠C． (提示：延长BO或AO，用推论2证明) 4．如图，已知∠A=28°，∠CED=96°，∠ D= 40°，求∠B的度数． (用定理和推论2解，∠B=16°)