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三角形相关性知识链接(高一下期) 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 衡阳县一中 王爱民 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换 因为在△ABC中，A+B+C=π，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC． (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理． r为三角形内切圆半径，p为周长之半． 在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC． (4)在△ABC中，熟记并会证明： ∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°． △ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列． 三角形的面积公式： （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）． （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB． （3）△＝＝＝． （4）△＝2R2sinAsinBsinC． （R为外接圆半径） （5）△＝． （6）△＝；． （7）△＝r·s． 直角三角形中各元素间的关系： 如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a． （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2．（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝， tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝． 斜三角形中各元素间的关系: 如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边． （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π． （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC． （4）射影定理：a＝b·cosC＋c·cosB， b＝a·cosC＋c·cosA， c＝a·cosB＋c·cosA． 解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形． 解斜三角形的主要依据是： 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C． （1）角与角关系：A+B+C = π， （2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，a－b c，b－c a，c－a b． （3）边与角关系： 正弦定理 （R为外接圆半径）． 余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA． 它们的变形形式有：a = 2R sinA，，． （4）面积公式： ． 解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b． （2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角． （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． （4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C． HYPERLINK mailto:电子邮箱zyl2518006@126.com,手机号电子邮箱zyl2518006@126.com,手机号电话07342518006