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1正交变换
1．正交变换 设V是n维欧氏空间，A是V内一个线性变换.如果对任意都有 (AA= 则称A是V内的一个正交变换. 正交变换的四个等价表述: 命题2.1 A是正交变换; A把V的标准正交基变为标准正交基; A在标准正交基下的矩阵为正交矩阵; 对任意,|A. 证明 (1)(2):设是V的一组标准正交基,则由正交变换的定义: |A|===1 (A A)=(,)=0 (ij) 于是, A, A A是V的标准正交基. (2)(3): A在下的矩阵A恰是到A, A A的过渡矩阵,从而A是正交矩阵. (3)(4):设A在标准正交基下的矩阵为A,设=,则 (A, A)=(()A,()A) == == 开方即得|A. (4)(1):如果A保持向量长度不变,则(A A)=,(A,A)= (A(),A())=(,),展开: (A A)+2(AA+(A,A)=+2+ 利用前两个式子,得(AA=. 证明 显然E;如果A,B,则(AB AB)=(B,B)=,故AB;若A,则显然可逆,于是 EEAA AAA A, 从而A.于是构成群. 由于正交矩阵的行列式只可能为1或-1,我们以此对正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第二类正交变换.
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