传热学_5报告.ppt

第5章导热问题数值解法 内容 5-1 为什么要进行数值求解? 5-2 微分方程的有限差分公式 5-3 一维稳态导热 5-4 代数方程组的解法 5-5 二维稳态导热 5-6 非稳态导热 5-7 数值计算的误差控制 5-8 小结 5-1 为什么要进行数值求解? 5-2 微分方程的有限差分公式 5-3 一维稳态导热 求解: 5-5 二维稳态导热 5-6 非稳态导热 5-7 数值计算的误差控制  5-8 小结 t x ?x ?t m-1 m m+1 i+1 i 步骤3: 边界节点差分方程 (M-1) 个内部节点 ? (M-1) 个方程 未知数: M+1个 例如: 节点0对流边界条件 : 求解: (M+1) 个方程, Beijing Jiaotong University Heat Transfer 对内部节点的一维问题 显式方法的稳定性判据: t x ?x ?t m-1 m m+1 i+1 i or or 对内部节点的二维问题 此处, ?x=?y=l 隐式方法的稳定性无条件成立 Beijing Jiaotong University Heat Transfer 例5-3 大型铀平板非稳态导热 一大型铀平板厚度L=4 cm, 热导率 k= 28 W/m·°C, 热扩散率α=12.5 x 10-6 m2/s，初始温度均匀为200°C. 均匀热源为 5 x 106 W/m3. t = 0时刻, 平板的一面与冰水混合热接触保持在 0°C, 另一面与周围环境进行对流换热， T∞ = 30°C ， h= 45 W/m2 · °C, 如右图所示, 取两个边界节点和一个中心节点, 分别使用隐式方法和显示方法，计算冷却2.5分钟后的外表面温度 。 ?x/2 Beijing Jiaotong University Heat Transfer 解: 将其假设为常导热系数的一维导热问题. 节点数 M= 3, 选择两个表面节点和一个中心节点, 如图所示，节点间距 ?x 为 将节点标记为 0, 1, 和 2. 节点0的温度保持不变T0=0°C, 需要求出节点1和节点2的温度. 两个节点温度为未知, 这样仅需要两个独立的方程. 使用差分法建立两节点的方程. Beijing Jiaotong University Heat Transfer (a) 节点1为内部节点, 此处的显式差分方程可由公式 5-46直接得到，令 m = 1: (b) 节点2为对流边界节点, 对于厚度为?x/2 的体积元，由能量守恒建立此节点的有限差分方程，通过各边的传热量为: Beijing Jiaotong University Heat Transfer 注意到我们使用的是显示差分方法, 下一步需要计算时间步长的上限,根据稳定性标准两个方程的各项系数不能小于零. 这样,稳定性标准可表示为: 将已知量代入其中, 得到时间步长的最大允许值: Beijing Jiaotong University Heat Transfer 二维非稳态导热 问题: 常导热系数,带有内热源,二维矩形区域非稳态导热 基本方程: 步骤 1: 离散化 空间上: (M+1) 节点, x方向 (N+1) 节点, y方向 时间上: (I+1) 节点, ?t=DTime/I ( 时间步长 ) 体积元: ?x? ? y ? 1 Beijing Jiaotong University Heat Transfer 步骤 2: 建立内部节点常规差分方程 令 ?x= ?y=l (方形网格), : 格子傅立叶数 (M-1)x(N-1) 节点 Beijing Jiaotong University Heat Transfer 易记形式: 显式差分公式: 隐式差分公式: 隐定性判据: or (稳定性无条件成立 !) 此处边界节点的差分方程与稳态情况下相似 Beijing Jiaotong University Heat Transfer 例5-4 二维非稳态导热 在L形固体中发生二维非稳态导热, 初始温度均匀为 90°C ,其截面如图5-30所示. 热导率 k = 15 W/m · °C ,热扩散率α= 3.2 x 10-6 m2/s, 内热源为 2 x 106 W/m3. 固体左侧壁面绝热, 底部保持等温 90°C. t = 0时刻, 整个顶部与周围环境进行对流换热, T∞= 25°C , h = 80 W/m2 · °C, 右侧壁面定热流密度 5000 W/m2. 如图所示,网格中有15个等间距节点,令?x =?y=1.2 cm. 5个温度已知的节点在底部表面. 使用显式方法计算1,3,5,10和60分钟后顶角3的温度. Beijing Jiaoto