10-2-1高数多元函数.ppt

高等数学电子教案 授课教师：王东霞 心中有数　 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 2.二重积分的计算步骤及注意事项 例9.计算 例8. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 P143例4 先y 后x 为何简单? 若被积式只含一个变量时,应先对另一个变量积分简单. 即使累次积分好算为妙. 1. 二重积分在直角坐标下的计算公式 小结: （在积分中要正确选择积分次序） ［Y－型］ ［X－型］ ★如果积分区域为： ★如果积分区域为： 外限定限方法------投影法 内限定限方法--平行线穿越法 ? 画出积分域 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 积分域分块要少 累次积好算为妙 （充分利用对称性,几何意义和性质） 外限定限方法------投影法 内限定限方法--平行线穿越法 作业:P154 2(1)(3)(4),6(1)(3)(5), 7. 预习:P144-P149 在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序. 解 X-型 练习 按Y-型区域计算 可以吗? 计算 围成. * 河南城建学院精品课程《高等数学》 * * 河南城建学院精品课程《高等数学》 * 河南城建学院精品课程《高等数学》 * 河南城建学院精品课程《高等数学》 * * * 知识结构： 　　　　第二节　二重积分的计算法　 　　一、利用直角坐标计算二重积分 　　（二、 利用极坐标计算二重积分） 　　（三、二重积分的换元法） 教学目的：使学生熟练掌握利用直角坐标计算二重积 　　　　　分的方法 教学重点：把二重积分转换为累次积分的方法 教学难点：转换积分次序 教学方法：以讲授为主 1.二重积分定义: 知识回顾 2.性质: 线性性，可加性，积分不等式，估值定理，积分中值定理. 4.利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化 计算二重积分. 3几何意义: (1) o X—型区域 5. 区域D的几种简单类型 ( 2) o Y－型区域 平行线穿越法 平行线穿越法 ?将D投影到x轴上， 若投影区间为[a,b], ?用一组平行于y轴且与y轴同方向的直线穿越D， 入口 线方程为 出口线方程为 [X－型]区域D: o 对[Y－型]同样可用平行线穿越法 于是有： 平行线穿越法 把区域表示为不等式组的方法是： 注意： 1.有的区域可以看成X-型 区域, D: 2.若为如图所示的复杂区域D， 则可以分割为: o 而 均为简单区域. 也可看成Y-型区域. x o y D c a d b 如矩形区域 *三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 假设： (1) 且在D上连续， (2) 其中： 在 上连续. o D 由二重积分的几何意义， 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 而 ? 一、利用直角坐标计算二重积分 o D 固定 于是得到： 则 则x对 应的截面面积是 记 注意： 1. 叫内积分； 叫外积分. 叫累次积分,也叫二次积分. 2.本质：化二重积分为二次定积分,先计算内积分,后计算外积分. 3. 注意公式所对应的积分区域的类型. 4. 若被积函数可积，上述公式都成立. 定理1 定理2 ［Y－型］ ［X－型］ 为计算方便,可选择积分次序,必要时还可以交换 积分次序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 例1. 计算 其中D是由直线y=1、x=2及y=x 所围成的三角形区域. 解: (1)作出区域D的图形 o 1 2 x y (2)定限(平行线穿越法) (3)化为累次积分： (4)计算(先内后外) y=x y=1 x P141例1 另解: 例1. 计算 其中D是由直线y=1、x=2及y=x 所围成的三角形区域. (1)作出区域D的图形 (2)定限(平行线穿越法) (3)化为累次积分： (4)计算(先内后外) o 1 2 x y y=x y=1 x 1 2 P141例1 解: 例2. 求 其中D是由抛物线 和 所围平面区域. 两曲线的交点 则 o x y 另解: ［Y－型］ o x y 围成. 若先对y后对x积分， -1 1 y=x 例3. 解 P141例2 则D： 原式 若先对x后对y积分，则 内积分不易算 -1 1 y=x 若积分区域D既是X-型又是Y-型，若按X-型（先对y 后对 x ）区域计算比较麻烦时，应选取Y-型区域，先对x后对y进行积分.反之，