笛卡尔积和二元关系(离散数学)报告.pptVIP

第七章 二元关系 * * 7.1～7.2 笛卡儿积和二元关系 有序对 笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示 * * 引例中涉及的概念 有序对 关系 集合A上的关系 集合A到B的关系 * * 一、有序对 定义： 由两个客体 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作x,y 一般情况下x,y?y,x x,y 与 u,v 相等的充要条件是： x,y=u,v ? x=u ? y=v 有序性 * * 二、笛卡儿积 定义：设A和B是两个集合，A到B的笛卡尔乘积用A×B表示，它是所有形如a,b的有序对作为元素的集合，其中 。 A?B ={ x,y | x?A ? y?B } B到A的笛卡尔乘积B×A B?A ={ x,y | x?B ? y?A } * * 二、笛卡儿积 例1： A={1,2,3}, B={a,b,c} A?B={1,a,1,b,1,c,2,a,2,b, 2,c, 3,a,3,b,3,c} B?A={a,1,b,1,c,1,a,2,b,2, c,2,a,3, b,3,c,3} A?B?B?A * * 二、笛卡儿积 例2：已知A={?, {?}}, 则A ? P(A)。 P(A)={?, {?},{{?}},{?, {?}} } A ? P(A)={ ?,? , ?,{?}, ?,{{?}}, ?,{?, {?}} ,{?}, ? , {?},{?},{?},{{?}}, {?},{?, {?}} } * * 二、笛卡儿积 特别的，当A = B时，A×A称为集合A上的笛卡尔乘积，也可简写作A2。 当| A | = m,| B | = n时, | A×B | = m × n | A×A | = n2 * * 二、笛卡儿积 例3：设A={a,b},B={0,1},C={?}。试求出A×A, A×B,B×A, (A×B)×C, A× (B×C) A×A={a,a,a,b,b,b,b,a} A×B={a,0,a,1,b,0,b,1} B×C={0, ? ,1, ? } (A×B)×C={ a,0, ? , a,1, ? , b,0, ? , b,1 , ? } A×(B×C)={ a,0, ? , a, 1, ? , b, 0, ? , b,1, ? } * * 二、笛卡儿积 笛卡儿积的性质： A??=??B=? 当A?B, A??, B??时， A?B?B?A 当A??, B??时， (A?B)?C?A?(B?C) * * 二、笛卡儿积 对于并或交运算满足分配律 A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (B?C)?A=(B?A)?(C?A) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (B?C)?A=(B?A)?(C?A) 思考: A ? (B? C)=(A ? B) ?(A ? C)成立吗? P(A) ? P(A) =P(A ? A)成立吗? * * 二、笛卡儿积 例4：(1) 证明 A=B ? C=D ? A?C=B?D (2) A?C=B?D是否能推出A=B?C=D?为什么？ 解： (1) 任取x,y x,y?A?C ? x?A ? y?C ? x?B ? y?D ? x,y?B?D (2) 不一定。 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=?, 则 A?C=B?D 但是 A?B. * * 二、笛卡儿积 证：对于任意的x， 例5：设A、B为任意集合， 证明：若 A?A=B?B,则A=B。 * * 三、二元关系 定义：A和B是两个集合,R是笛卡尔乘积A×B的子集，则称R为A到B的一个二元关系。 e.g. A = {a1,a2,a3,a4,a5} ,B = {b1,b2,b3}， a1,b1可以写作a1Rb1 ,称a1,b1以R相关。 R = {a1,b1,a2,b1,a4,b3}是A到B的一个二元关系。 * * 三、二元关系 例6：列出从集合A={1,2}到B={1}的所有的二元关系. 解：A×B的所有子集