第七讲(1导数应用).pptVIP

主要问题 第二充分条件 (3) 凹凸性 斜渐近线的推导 (5) 函数作图 二. 实例分析 例2. 设 例3. 已知函数 故拐点轨迹的参数方程为 例4. 填空题 (2) 设函数 (3)判断复合函数 例5.求曲线 例6. 求笛卡儿叶形线 例1. 椭圆 例2. 求数列 例3. 求函数 例3. 求函数 例4. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 例5. 已知平面曲线 L 的方程为 得 例6. 设 设此时 例7. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 说明：在经济学中 例1 证明方程 例2. 设 例3. 设在 例4. 设 x 0 时 , 方程 例5. 在什么条件下方程 当 在区间(0,1)内有且仅有一个实根。 证明： 设 在区间[0,1] 上连续， 由零点定理， 使 即 的根存在。又 单调增加。 的图形至多与 x轴有一个交点， 所以方程仅有惟一解。 3.研究方程的实根问题 在 上可导, 且 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证: 设 则 故 在 上单调递增, 从而至多只有 一个零点 . 又因 因此 也至多只有一个零点 . （P95例5） 上 证明 f (x) 在 证: 将 在 处展成一阶泰勒公式 因此 根据连续函数零点定理可知 使 上有且仅有一个实根 . 又因 时 故 这说明 f (x) 在 上单调递减 , 因此 f (x) = 0 在 上有且仅有一个实根 . （参考P80例9） 存在唯一实根 , 求 k 的取值范围 . 解: 设 则 1) 当 时, 因 所以 又因 此时 在 有唯一的零点 . 2) 当 时, 令 得 为最小值 令 得 时原方程在 x 0 内有唯一实根. 递降. * 第七讲 (一元微分学之四) 导数的应用方法 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等. 一.导数的应用方法指导 1. 导数在研究函数性态方面的应用 (1) 增减性 若 则 f (x) 在 I 上递增 ; 若 则 f (x) 在 I 上递减 . (2) 极值点 第一充分条件 ( f (x)在 连续) 左正右负, 在 两侧, 为极大值点 ; 左负右正, 为极小值点 . 若 则 为极小值点 ; 若 则 为极大值点 . 推广的充分条件 若 且 则 为极小值点 ; 则 为极大值点 . 提示: 利用泰勒公式 正负号由 决定 . 若在 I 上 则 凹向上 ; 若在 I 上 则 凸向上 . (4) 渐近线 若 则 有水平渐近线 若 则 有垂直渐近线 若 则 有 斜渐近线 斜渐近线 若 2. 导数在最值问题中的应用 (1) 建立目标函数及其转化 一般因变量取为目标变量 , 自变量的选取应使目标函数尽可能简单. (2) 最值的判别问题 3. 导数的其他应用 几何应用; 相关变化率; 研究方程的实根问题 存在性: 利用零点定理或罗尔定理 唯一性: 利用单调性或用反证法 例1. 证明函数 在 上单调增加. （P95例4） 证: 当 x 0 时, 故 因此 在 上单调增加 . 1. 导数在研究函数性态方面的应用 对一切实数 x 满足方程 证明 f (x)在 取极值必为极小值 . （P97例8） 证: 设 f (x) 在 取极值 , 则必有 由方程可知 当 时, 故 必为极小值 . 当 时, 求当 a 变动 函数 f (x) 的拐点的轨迹方程 . 解: 令 得 即 易知 通过此点变号. 将此点代入 y = f (x) , 得 消去参数 a , 得一般方程 此即所求拐点轨迹方程 . 的连续性及导函数 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 单调减区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ; . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 的图形如图所示, 的凹凸性: 1) 若