数列的题目类型及方法总结.pptVIP

、 例3.求下列数列的前n项和 （1） 解（1）：该数列的通项公式为 （2） 例4、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1) [分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ② (1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 - nxn n项 这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。 错位相减法 例4、求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x≠0,1) 解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1 ∴xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn ∴ ① -②，得： (1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn 1-(1+n)xn+nxn+1 1-x = ∴ Sn= 1-(1+n)xn+nxn+1 (1-x)2 1-xn 1-x = - nxn …… …… …… … 4. 裂项相消法（或拆项法）：若数列 的通项公式可拆分为某数列相邻两项之差的形式即： 或（ ）则可用如下方法求前n项和 . 例.设 是公差不为零的等差数列， 满足 求它的前n项和 常见的拆项公式有： 例5、Sn = + +……+ 1 1×3 1 3×5 1 (2n-1)×(2n+1) [分析]：观察数列的前几项： 1 (2n-1)×(2n+1) = （ - ） 2 1 2n-1 1 2n+1 1 这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？ 拆项相消法 1 1×3 = （ - 2 1 3 1 1 1 ） 例5、Sn = + +……+ 1 1×3 1 3×5 1 (2n-1)×(2n+1) 解：由通项an= 1 (2n-1)×(2n+1) = （ - ） 2 1 2n-1 1 2n+1 1 ∴Sn= （ - + - +……+ - ) 2 1 3 1 1 1 5 1 3 1 2n-1 1 2n+1 1 = （1 - ） 2 1 2n+1 1 2n+1 n = 评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。 分母为3的不可约分数之和为 典型例题 (1)已知 an= , 求 Sn; [n(n+1)]2 2n+1 (2)已知 an= , 求 Sn; (2n-1)(2n+1) (2n)2 n2+2n n2+2n+1 2n2+2n 2n+1 Sn=(3n+2)·2n-1 Sn=3n-2n(公比为　的等比数列) 2 3 (4)Sn=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1; 法1 Sn=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·[n-(n-1)] =n(1+2+3+…+n)-[2?1+3?2+…+n(n-1)] =n(1+2+3+…+n)-[12+22+…+(n-1)2]-[1+2+…+(n-1)] 法2 Sn=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1 =1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n) 而 an=1+2+3+…+n= n(n+1). 1 2 (5)Sn=3n-1+3n-2·2+3n-3·22+…+2n-1. (3)Sn=Cn+4Cn+7Cn+10Cn+…+(3n