《高等数学B》第二章 极限与连续 第2节 函数的极限.pdfVIP

§2 函数极限 一、函数极限的定义 函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程 中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数， 那么这个确定的数就叫做自变量在这一变化过程中 函数的极限。 这个极限是与自变量的变化过程密切相关的，由 于自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不 同的形式。数列极限看作函数f (n) 当n →∞时的极 限，这里自变量的变化过程是 n →∞. 下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数f (x) 的极限，主要研究两种情形： 1. 自变量趋于有限值时函数的极限 问题:函数 x 在x → 的过程中,对应函数值 y f x ( ) 0 f (x ) 无限趋近于确定值 A . f x (A) − εf 表示x (A) − 任意小 ; 0x x − δ x表示x → 的过程. 0 0 δ δ x 0 −δ x 0 x 0 +δ x 点x0 的去心δ邻域 , δ体现 x 接近 x0 程度 . 定义 1 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小), 总存在正数 δ, 使得对于适合不等式 的 − 0x x δ 0 x f (x ) 一切 , 对应的函数值 都满足不等式 f x (A−) ε, A f (x )x x → 那末常数 就叫函数 当 0 时的极限, 记作 f x A f x limA ( x) ( )x ( 或 ) → 当 → 0 x x → 0 ε−δ 定义 ∀ε ∃δ − δ 0, 0, 0 使当 x x 0 时, ( )f 恒有x A−. ε 注意： 1. 函数极限与(f )x 在点 x 0 是否有定义无关 ; 2. δ 与任意给定的正数 ε有关. 几何解释: y y f x ( ) 当 在 的去心 邻 x x0