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福建师范大学2008年实变函数与泛函分析考博试题解答
《实变函数与泛函分析》参考答案与评分标准
f (x) − f (y)
一、（1）（15 分）（a ）由∀y ∈H(c), x − y ≥ 推出
f
f (x) −c
d x H c ≥ （5 分 ），（ b ） 对 ∀0 ε f ， 有
( , ( ))
f
f (z ) ≥ ( f − ε ) z ， 对 某 z∈ X ， 置 y = x − f (x) −c iz ， 则
f (z)
f (x) −c f (x) −c
f (y) =c ，由此 x− y = z （5 分），
f z f
| ( ) | − ε
f (x) −c
（c ）由ε 的任意性，令ε ↓ 0 ，使得d(x, H(c)) ≤ （5
f
分）.
3
（2 ）（5 分）在R 中一般平面方程H(D) : Ax+ By+ Cz = D
3
(x, y, z) ∈R ，就正好是泛函f (x,y,z ) := Ax +By +Cz 的超平面
H(D) . （5 分）.
二、（1）（3 分）从略. （2 ）（2 分）从略.但为 （3 ）的证
明，最好先给一个推论：根据 （3 ）的条件有δ := d(x ,M) ≥ 1
0
* 1
（用到g ∩B = ∅ ），有 f ∈X 使 f (M ) ≡ 0, f (x ) = 1 ，和 f = .
0 δ
− 1
（3 ）（15 分）定义超平面 H(1) = f (1) 就有 g∈ H(1) 和
H(1) ∩B = ∅ .
三、证法一. 由开映射定理 T 是开映射，故对 X 中单位
（开）球B (0,1) ，存在δ 0 ，使TB (0,1) ⊃ δ B (0,1) （10
X X Y
分）. 因而∀0 ≠ y ∈Y, δ y ∈δB (0,1) ，就有x ∈ B (0,1) ，使
Y 0
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