高等代数的解题方法探讨.pdfVIP

Vol . 10 ,No . 1 高等数学研究 Jan. , 2007 　　　　　　　　　 STUDIES IN COLL EGE MA THEMA TICS 9 1 高等代数的解题方法探讨 ( ) 余 航 　 桂林师范高等专科学校数学系 　广西桂林 　541001 摘 要 　在高等代数的解题过程中, 若能针对具体情况, 引入数学方法论中的RMI 方法、叠加法、抽屉原理, 或借助 于微积分学中的个别结论,某些问题将迎刃而解. 关键词 　数学方法论; RMI 方法;叠加法;抽屉原理;微积分 　　　　　　　　中图分类号 　O151. 2 高等代数是大学数学专业的一门重要的基础课程, 它是中学代数的继续和提高, 高等代数课程理论 抽象严谨,解题方法灵活多变, 因此, 如何在教学中引导学生自觉地体会总结,运用本课中常用的方法, 淡 化特技, 提倡解题“通法”, 就显得犹为重要. 1 　从数学方法论的角度探讨 1. 1 　RMI 方法 ( ) 数学方法论中的关系映射反演方法 简记为 RMI 可简述如下:给定一个含有 目标原象 x 的关系 φ 结构 S , 如果能找到一个可定映映射 , 将 S 映入或映满 S , 则可从 S 通过一定数学方法把目标映象 - 1 - 1 φ( ) φ φ ( ) x = x 确定出来, 进而通过反演 把 x = x 确定出来;这样, 原来的问题就得到解决. 利用 RM I 方法解决问题的过程可用框图表示, 如图 1. 　　 　　　 图 1 　RM I 方法解题过程图 　　　　　　　　　　图2 　例 1 用图 　　　 例 1　以二次型f (x1 , x2 , …, xn) 及非退化线性替换为原象关系结构S , 以矩阵为映象关系结构S ,有: φ ( ) : 　f x 1 , x2 , …, x n 　| 　　f 的矩阵A , 问题 :两复二次型等价的判断. 解决过程如图2 . RM I 方法不仅通过映射解决了原来的特殊问题, 还建立了一个普遍的模式 :在两类数学对象 或两个数学集合的元素之间建立一种“对应关系”即定义一个映射. 1. 2 　叠加法 ( ) 欲求解一个被诸多因素制约的较复杂的数学问题 以下简称原问题 时, 可在原问题中依次仅 ( ) 选取一个因素依题意变化, 其余因素均置于某种特殊状态 初始状态 . 这样, 就得到一个特殊的子 问题, 即可将原问题分解为这些子问题的组合. 则逐一求出这些子问题的解后, 再将所得的解按原 来的分解方式逆向叠加, 即得到原问题的解. 这种方法即为“叠加法”. α α α β β β 例 2 　设 1 , 2 , …, n 是数域 F 上 n 维线性空间