第三章1稳定性分析自动控制理论.ppt

引 言 第三章 控制系统的时域分析 目的 掌握控制系统的时域分析方法 劳思表出现零行 * 数 学 模 型 微分方程 传递函数 频率特性 结构图 信号流图 状态空间表达式 反映元件及系统 的特性要正确 实验法 解析法 写出的数学式子 要简明 自动控制系统好？差? 系统分析 典型的输入信号 时域性能指标 动态性能 指标 稳态性能 指标 稳定性 时域分析 复域分析 频域分析 单位脉冲 阶跃 斜坡 正余弦 内容 系统稳定性分析 稳态误差的计算 瞬态分析 时域性能指标 一阶、二阶系统分析 §3.5 控制系统的稳定性分析(P70) 系统稳定的概念 系统稳定的充要条件 应用劳斯（Routh)判据判别系统 稳定性 关于系统运动的稳定性理论， 是俄国学者李亚普诺夫 （А. М. Лялунов） 于1892年确立的。 系统稳定性的完整概念 “运动稳定性的一般问题” （The General Problem of the Stability of Motion) 1. 系统稳定的概念 稳定的基本概念 稳定是使系统能够正常工作的必要条件，所谓“稳定”是指在任何扰动作用下，系统平衡遭到了破坏，如果在经过了相当长时间后，系统能达到一种新的平衡，或者回到原来的平衡状态，那么这个系统是稳定的。  稳定stable 不稳定unstable M b c o d f 强调1：对于线性（线性化）系统而言，稳定与否仅取决于系统自身结构，而与外界扰动无关。 强调2：达到新的平衡状态或恢复到原始状态，其间有一个“允许”误差范围的原则。 2. 系统稳定的充要条件 线性(化)系统时域数学模型为： 由经典解法知，其解为： 在单位脉冲扰动的作用下，系统的输出为 假设系统的n个特征根互异 则系统的输出表示成单极点形式： 其中ai为对应极点的留数，则时间响应为： 为使系统稳定，则必须有 从而 因为 所以 重根情况 如果pi为二重根、三重根…时，分量式为 时间分量为： 则一样必须极点的实部为小于零。 共轭复数根情况 设共轭两根对应的分量式为： 则时间分量为： 根据收敛条件根的实部必须要小于零。 系统稳定的充要条件： 系统所有闭环特征根即闭环极点必须为负值，或者实部为负的共轭复数。也可以说，系统所有的特征根必须位于S 平面的左半平面。 系统稳定性的讨论 系统稳定性是系统的固有特性，与输入 信号无关 若系统闭环特征方程的根有重根，充要 条件还成立吗？ Pi 为单根 分量式为 时间分量 Pi 为二重根 分量式有 时间分量 必有 问题： 高阶系统如何判断稳定性？ 3. 代数稳定性判据 劳斯判据（Routh) ---不必求解闭环特征方程的根，利用闭环特征方程的系数判别稳定性。 闭环特征方程 1.劳斯行列第一列不动，下移一行降一阶，右移一位降两阶； 2.分母总是上一行第一个元素； 3.次对角线减主对角线； 4.一行可同乘以或同除以某正数； 5.n阶系统的劳斯表共有n+1行。 系统稳定的充分必要条件是： 1、必要条件： 同号，且处理为 形式； 2、充分条件：劳斯表中第一列所有元素的计算值均大于零，则系统稳定；如果第一列出现小于零的元素，则系统不稳定，并且第一列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目；如果出现零值，那么该系统存在纯虚根，系统不稳定。 （1）给出了系统稳定的判断方法； （2）给出了不稳定情况下判断右根个数的方法。 例1 已知系统的特征方程为 试用劳斯判据判别系统的稳定性，并确定正实部根的数目。 解： 根据特征方程的系数列出劳斯表： ①第一列元素不同号，所以系统不稳定。 ②第一列中数值符号改变两次，所以有两个正实部的根。 例2 特征方程为 列写劳斯表： ①用正数?代替第三行第一列的0元素，继续计算劳斯表。 ②令??0研究劳斯表的第一列元素符号。 ③第一列元素符号:＋?－?＋改变两次，系统不稳定。 劳斯判据的第一种特殊情况 ---第一例有零值出现：用极小的正数 ? 代替。如果第一列中的元素除了出现的零值外，其余全部大于零，则说明系统有临界稳定的特征根。第一列系数改变符号的次数，即不稳定根个数。 设系统特征方程为： s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 思 表 s0 s1 s2 s3 s4 5 1 7 5 6 1 1 6 6 0 1 劳斯表何时会出现零行? 2 出现零行怎么办? 3 如何求对称的根? ② 由零行的上一行构成 辅助方程: