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第一章 第二节 绝对值不等式与一元二次不等式 题组一 绝对值不等式的解法 1.(2009·全国卷)不等式1的解集为(　　) A.{x|0x1}{x|x1} B.{x|0x1} C.{x|－1x0} D.{x|x0} 解析：法一(特值法)：显然x＝－1是不等式的解. 法二：不等式等价于|x＋1||x－1|，且x≠1. 即(x＋1)2(x－1)2，解得x0. 答案：D 2.(2010·福州模拟)不等式|x|·(1－3x)0的解集是(　　) A.(－∞，) B.(－∞，0)∪(0，) C.(，＋∞) D.(0，) 解析：|x|(1－3x)0 答案：C 3.(2009·重庆高考)不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，－1]∪[4，＋∞) B.(－∞，－2]∪[5，＋∞) C.[1,2] D.(－∞，1]∪[2，＋∞) 解析：先求函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值ymax，由绝对值的几何意义知坐标轴上一动点P(x,0)到定点A(－3,0)，B(1,0)距离差的最大值为4，所以ymax＝4，只需a2－3a≥4即可，得a(－∞，－1][4，＋∞). 答案：A 4.不等式|x＋3|－|2x－1|＋1的解集为　　　　. 解析：|x＋3|和|2x－1|的零点分别为－3和.原不等式等价于 或②或③ 解，，分别得x－3，－3≤x－，x2， 原不等式的解集为(－∞，－)(2，＋∞). 答案：(－∞，－)∪(2，＋∞) 题组二 一元二次不等式的解法 5.设A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b等于(　　) A.7 B.－1C.1 D.－7 解析：A＝(－∞，－1)(3，＋∞)，A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则B＝[－1,4]. －1,4为方程x2＋ax＋b＝0的两根， a＝－(－1＋4)＝－3， b＝－1×4＝－4， a＋b＝－7. 答案：D 6.不等式x2－|x|－20的解集是(　　) A.{x|－2x2} B.{x|x－2或x2} C.{x|－1x1} D.{x|x－1或x1} 解析：原不等式|x|2－|x|－20(|x|－2)(|x|＋1)0|x|－20－2x2. 答案：7.已知不等式组的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是　. 解析：因为不等式组的解集是{x|2＜x＜3}，设f(x)＝2x2－9x＋a，则由题意得解得a≤9. 答案：a≤9 8.已知函数f(x)＝2x2＋(4－m)x＋4－m，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是　　　　. 解析：当m0时，在x0时，g(x)0恒成立，在x≤0时，g(x)≤0，因此若x≤0，需使f(x)0，或所以m(0,4)； 当m0时，在x0时，g(x)0恒成立，在x≥0时，g(x)≤0，因此若x≥0，需使f(x)0， 或所以m(－∞，0)； 当m＝0时，f(x)＝2x2＋4x＋4恒大于0 综上所述，得m(－∞，4). 答案：(－∞，4) 9.解关于x的不等式12x2－axa2(aR). 解：由12x2－ax－a20(4x＋a)(3x－a)0 (x＋)(x－)0， a0时，－， 解集为{x|x－或x}； a＝0时，x20，解集为{x|xR且x≠0}； ③a0时，－ ， 解集为{x|x或x－}. 题组三 不等式的恒成立问题 10.(2010·徐州模拟)若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　) A.a≥2或a≤－3 B.a＞2或a≤－3 C.a＞2 D.－2＜a＜2 解析：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，即 解得a＞2. 答案：C 11.若不等式a＜2x－x2对于任意的x∈[－2,3]恒成立，则实数a的取值范围为　　　　. 解析：由已知不等式a＜－x2＋2x对任意x[－2,3]恒成立，令f(x)＝－x2＋2x，x[－2,3]， 可得当x＝－2时，f(x)min＝f(－2)＝－(－2－1)2＋1＝－8， 实数a的取值范围a(－∞，－8). 答案：(－∞，－8) 12.已知函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)当xR时，f(x)≥a恒成立，求a的范围. (2)当x[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围. 解：(1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， －6≤a≤2. (2)f(x)＝x2