1-4 有限维空间.pdfVIP

回顾： 有限维B*空间有限维Banach 空间 线性同构、拓扑同胚于Kn 单位球面S ={xX ：||x||=1} ( 自)列紧 1 反过来 定理：设X 为B*空间，则 dim X单位球面列紧 证明：只需要证明若单位球面S1 列紧，则X 是有限维空间。 反过来说，若dim X=，我们证明S1 非列紧。 即存在X 中点列{x ：nN} 不存在Cauchy 子 n 列。即存在常数(不妨取1)0，s.t. || xm-xn ||， mn 取x S ，M =span{x } 。从空间X 中将M 这 1 1 1 1 1 一部分剔除。 由dim X=可知M X 。于是，y X\M 。 1 1 由此构造出点列的第二个元，保证在S1 中。 由于dim M =1，可知存在xM ，使得 1 1 ||y-x|| = (y ，M ) = min{||y-ax ||：aK} 1 1 令x =(y-x)/||y-x||，则x S ，且(x ，M )=1 2 2 1 2 1 (x ，M ) 2 1 min{ x ax : a K } 2 1 1 min{ ( y x )ax1 :aK } y x (将M 中的元放一起) 1 1 min{ y (x a y x x ) :aK } 1 y x 1 (y，M 1 ) 1 y x 由dim X=可知M X 。于是，y X\M 。 1 1 由此构造出点列的第二个元，保证在S1 中。 由于dim M =1，可知存在xM ，使得 1 1 ||y-x|| = (y ，M ) = min{||y-ax ||：aK} 1 1 令x =(y-x)/||y-x||，则x S ，且(x ，M )=1 2 2 1 2 1 取M =span{x ，x }，将M 从X 中剔除。 2 1 2 2 类似地，可取得x S ，使得(x ，M )=1， 3 1 3 2 …… 于是，得到S