高二数学2013北师大版高中数学选修1-2第三章　推理与证明复习课件.pptVIP

BS · 数学 选修1-2 BS · 数学 选修1-2 归纳推理可根据一类事物中部分事物具有的某种属性，推断出这类事物中每一个事物都有这种属性，是由部分到整体，由个别到一般的推理过程．在归纳推理时应注意找规律，结论不一定正确． 　图3－1是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点间的“短线”表示化学键．按图中结构，则第n个图有______个原子，有______个化学键． 图3－1 【思路点拨】　解决有关图形按一定规律生长或分支的归纳问题，关键是要善于抓住图形变化规律，捕捉图中提供的信息，由特殊抽象出一般结论． 【规范解答】　结构简图中原子的个数依次是6,6＋4＝10,6＋4＋4＝14， 归纳猜想第n个图中原子个数为6＋(n－1)×4＝4n＋2. 结构简图中化学键的个数依次是6,6＋5＝11,6＋5＋5＝16， 归纳猜想第n个图中化学键个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1. 【答案】　4n＋2　5n＋1 如图3－2所示，小正方形的边长为1，渐开线形成的螺旋曲线是由半径分别为1,2,3,4，…，n的四分之一圆弧逆时针形成的螺线图案，并且分别以正方形的各个顶点为圆心，则第n个图形的圆弧长度的通项公式为________． 图3－2 【解析】　解决本题需要根据前三项情况进行分析，从而找到规律，得出结论．第一个图形圆弧长度是半径为1的四分之一圆弧长，第二个图形的圆弧长度是半径为1和2的两个四分之一圆弧长的和，第三个图形的圆弧长度是半径为1,2和3的三个四分之一圆弧长的和，…，归纳得第n个图形的圆弧长度是半径分别为1,2,3，…，n的n个四分之一圆弧长的和，即(1＋2＋3…＋n)＝π. 【答案】　π 类比是高中数学学习的重要思维方式，它是通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性去推测这两个事物在其他方面也具有相同或类似的属性，从而大胆猜测得到结论．学习类比推理可以培养创新精神． 　在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．请你写出这个命题在空间中的类比命题，并判断命题的真假性． 【思路点拨】　将平面上的角与空间中的二面角进行类比． 【规范解答】　类比：如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补．这个类比是错误的．事实上，两个二面角的大小没有关系，即假命题． 在平面几何中，ABC的C内角平分线CE分AB所成线段的比AEEB＝ACCB，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图3－3)，平面CDE平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，可类比得到结论________． 图3－3 【解析】　设A，B到平面ECD的距离分别为h1，h2，则＝＝，平面CDE平分二面角A—CD—B，E到平面ACD和平面BCD的距离相等，＝＝，＝＝. 【答案】　＝ 综合法与分析法是两种思路截然相反的方法，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用，转换解题思路，增加解题途径． 　已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1. 【思路点拨】　用综合法证题时，要善于“目标分析”，以便找到证题的入手点，比如本题，是抓住怎么会出现ax＋by和1来选择入手点的． 【规范解答】　法一　a2＋x2≥2ax，b2＋y2≥2by， 2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)＝1＋1＝2， ax＋by≤1. 法二　由于a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，所以可令a＝cos α，b＝sin α，x＝cos β，y＝sin β， 则ax＋by＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)≤1. 法三　a2＋b2＝1，x2＋y2＝1， 1＝(a2＋b2)(x2＋y2)＝(ax)2＋(ay)2＋(bx)2＋(by)2≥(ax)2＋2axby＋(by)2＝(ax＋by)2， ax＋by≤1. 已知α(0，π)，求证：2sin 2α≤. 【证明】　要证2sin 2α≤成立， 只要证明4sin αcos α≤， 因为α(0，π)，所以sin α0， 只要证明4cos α≤， 上式可变形为4≤＋4(1－cos α)， 因为1－cos α0， 所以＋4(1－cos α)≥2 ＝4， 当且仅当cos α＝，即α＝时取等号， 所以4≤＋4(1－cos α)成立， 所以不等式2sin 2α≤成立. 反证法是一种间接证明命题的方法． 反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p，则綈q”为假，从而可以导出“若p，则q”为真，从而达到证明的目的．反证法是高中数学中的一种重要