nlogn的最长上升子序列(pascal语言).docVIP

B. 最长不下降子序列的O(n*logn)算法分析如下： 设 A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] A[t])。 现在，我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足 (1)x y t (2)A[x] A[y] A[t] (3)F[x] = F[y] 此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？ 很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] A[z] a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。 再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。 注意到D[]的两个特点： (1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。 (2)　D[]的值是有序的，即D[1] D[2] D[3] ... D[n]。 利 用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A [t] D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A [t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] A[t]。令k = j + 1，则有A [t] = D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上 升子序列的长度。 在 上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的 时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法 的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！ var n,i,l,r,x,mid:longint; f:array[0..10000]of longint; begin read(n); for i:=1 to n do begin read(x); l:=1;r:=f[0]; while lr do begin mid:=(l+r)shr 1; if f[mid]x then //若求最长下降子序列则是f[mid]x l:=mid+1 else r:=mid; end; if (l=r)and(xf[f[0]]))then //若求最长下降子序列则是xf[f[0]] begin f[0]:=f[0]+1; f[f[0]]:=x; l:=f[0]; end else if xf[l] then //若求最长下降子序列则是xf[l] f[l]:=x; end; write(f[0]); end. 引用Matrix67的话（求最长上升子序列）： f表示长度为i的上升子序列最后一个数最小是多少。显然数组f是单增的。 读到一个新的数x后，找到某个i使得xf[i]且x=f[i+1]，于是用x去更新f[i+1]；特别地，如果所有的f[i]都小于x，则增加f的长度。 最后看f数组有多长就行了。 由于f单增，所以查找i时可以用二分查找，因此时间复杂度为O(nlogn)。 举个例子，假如序列为 3 2 8 6 7 4 5 7 3，则f数组的变化过程如下： 3 2 2 8 2 6 2 6 7 2 4 7 2