MATLAB应用求解非线性方程.docVIP

第7章 求解非线性方程 7.1 多项式运算在MATLAB中的实现，是n+1项之和 在MATLAB中，n次多项式可以用n次多项式系数构成的长度为n+1的行向量表示 [a0, a1,……an-1,an] 二、多项式的加减运算 设有两个多项式和。它们的加减运算实际上就是它们的对应系数的加减运算。当它们的次数相同时，可以直接对多项式的系数向量进行加减运算。当它们的次数不同时，应该把次数低的多项式无高次项部分用0系数表示。 例2 计算 a=[1, -2, 5, 3]; b=[0, 0, 6, -1]; c=a+b 例3 设，，求f(x)+g(x) f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3]; g1=[0, 0, 0, g];%为了和f的次数找齐 f+g1, f-g1 三、多项式的乘法运算 conv(p1,p2) 例4 在上例中，求f(x)*g(x) f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3]; conv(f, g) 四、多项式的除法运算 [Q, r]=deconv(p1, p2) 表示p1除以p2，给出商式Q(x)，余式r(x)。Q,和r仍为多项式系数向量 例4 在上例中，求f(x)/g(x) f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3]; [Q, r]=deconv(f, g) 五、多项式的导函数 p=polyder(P)：求多项式P的导函数 p=polyder(P,Q)：求P·Q的导函数 [p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。 参数P,Q是多项式的向量表示，p,q也是多项式的向量表示。 例4 求有理分式的导函数 P=[3, 5, 0, -8, 1, -5]; %有理分式分子 Q=[10, 5, 0, 0, 6, 0, 0, 7, -1, 0, -100]; %有理分式分母 [p,q]=polyder(P,Q) 六、多项式求根 多项式求根就是求满足多项式p(x)＝0的x值。N次多项式应该有n个根。这些根可能是实根，也可能是若干对共轭复根。其调用格式是 x=roots(P) 其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分别代表多项式的n个根。 该命令每次只能求一个一元多项式的根，该指令不能用于求方程组的解，必须把多项式方程变成Pn (x) = 0的形式； 例4 求方程的解。 首先将方程变成Pn (x) = 0的形式： roots([1 -1 0 -1]) 例5 求多项式x4+8x3-10的根。 A=[1,8,0,0,-10]; x=roots(A) 若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为： P=poly(x) 若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。 例6 已知 f(x)=3x5+4x3-5x2-7.2x+5 (1) 计算f(x)=0 的全部根。 (2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。 P=[3,0,4,-5,-7.2,5]; X=roots(P) %求方程f(x)=0的根 G=poly(X) %求多项式g(x) 将这个结果乘以3，就与f(x)一致 7.2 求解非线性方程f ( x ) = 0 方程求根的一般形式是求下列方程的根： f ( x ) = 0 (l) 实际上，就是寻找使函数 f ( x）等于零的变量x，所以求方程（l）的根，也叫求函数 f ( x）的零点。如果变量x是列阵，则方程（l）就代表方程组。 当方程（l）中的函数 f (x）是有限个指数、对数、三角、反三角或幂函数的组合时，则方程（l）被称为超越方程，例如 e-x - sin（πx / 2 ) ＋lnx = 0 就是超越方程。 当方程（l）中的函数f（x）是多项式时，即 f（x）＝Pn（x）= anxn + an-1xn ＋ … ＋ alx + a0，则方程（l）就成为下面的多项式方程，也称代数方程： Pn（x）= anxn + an-1xn ＋ … ＋ alx + a0 = 0 ( 2 ) Pn（x）的最高次数n等于2、3时，用代数方法可以求出方程（2）的解析解，但是，当n ≥ 5时，伽罗瓦（Galois）定理已经证明它是没有代数求根方法的。至于超越方程，通常很难求出其解析解。所以，方程（l）的求解经常使用作图法或数值法，而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之