概率论及统计学的重要公式和解题思路.docx

一、基本概率公式及分布 1、概率常用公式： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ; 如A、B独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P(A )=1-P(A) ; B发生的前提下A发生的概率==条件概率 ：P(A|B)=P(AB)P(B) ; 或记 ： P(AB)=P(A|B)*P(B) ; 2、随机变量分布律、分布函数、概率密度 分布律： 离散型X的取值是x k(k=1,2,3...), 事件X=xk 的概率为： P{X=xk}=Pk, k=1,2,3...; --- 既 X的分布律； XX1X2....xnPkP1P2...pnX的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。 分布函数： F(x)=P(X≤x), -∞x+∞ ; 是概率的累积！ P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1) ; 离散型rv X; F(x)= P{X≤x}=xkxpk ;(把Xx的概率累加） 连续型rvX；F(x)=-∞xfxdx, f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X轴上的(-∞,x)围成的面积！ 性质：F(∞)=1; F(-∞)=0; 二、常用概率分布：  = 1 \* GB3 ①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p) P{X=k}=nkpk(1-p)n-k ，k=0,1,2,...n; E(X)=np, D(X)=np(1-p);  = 2 \* GB3 ②离散：泊松分布：X～Π(λ) P{X=k}=λk e-λk! ,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ ;  = 3 \* GB3 ③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b), 则：密度函数：f(x)=1b-a,axb0,其它 分布函数F(x)=-∞xfxdx=0, xax-ab-a1, x≥b,axb  = 4 \* GB3 ④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)= 1θe -xθ,0x0,其它 F(x)=1-e-xθ0,x0 ;  = 5 \* GB3 ⑤连续型：正态分布：X～N(μ,σ2), most importment! 密度函数 f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=μ, E(X)=μ,方差D(X)= σ2; 当μ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为： 分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。当X～N(0,1)，F(x)=Φ(x)(换个叫法）, 由对称性有Φ(-a)=1-Φ(a)； 看到X～N(μ,σ2),求概率的题，一定要变成标准正态N(0,1); 既把X变成 X-μσ ；则 X-μσ ～N(0,1)； 例题：已知 X～N(1,22)； 求P(-1X3). 解：(思路：μ=1，σ=2；变换式：x-12 ) P(-1X3)=P(-1-1X-13-1)=P(-1-12X-123-12)= P(-1X-121)= Φ(1)- Φ(-1)= Φ(1)-[1-Φ(1)]=2Φ(1)-1;查表 正态性质：如X～N(μ1,σ12)，Y～N(μ2,σ22)；则Z=aX+bY也是正态；Z～N(μz,σz2),其中μz=aμ1+bμ2 ; σz2=a2σ12+b2σ22 ； 三、二维随机变量： 离散型：（X,Y)可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,...). 联合分布律：P{X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,3,..) 联合分布律的表格形式: X YY1Y2Y3P(X=I)X1P11P12P13P11+P12+P13X2P21P22P23P21+P22+P23X3P31P32P33P31+P32+P33P(Y=J)P11+P21+P31P12+P22+P32P13+P23+P33边缘分布： P(X=1)=P11+P12+P13(横排相加） ; P(X=2)，P(X=3)同样计算 P(Y=1)=P11+P21+P31（竖排相加）; P(Y=2) ，P(Y=3)类似计算； 条件概率： X=X1条件下Y的分布律：P{Y=yj|X=x1}=P{Y=yj,X=X1}P{X=X1) =P1JP{X=X1) ; P{Y=y1|X=x1}=P11P{X=X1) ; P{Y=y2|X=x1}=P12P{X=X1); P{Y=y3|X=x1}=P13P{X=X1) 连续型：设f(x,y)是联合概率密度；（注意x,y常常有取值范围D的） 则 ：F(x,y)=P(Xx,Yy)=-∞x-∞yfx,ydxdy ; F(∞,∞