苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter4.pdfVIP

第四章 矩阵力学基础（2 ）——表象理论 典型例题分析 4.1 质量为 m 的粒子在势场V(x) 中作一维运动，试建立动量表象中的能量本征方程。 解题思路：Schrodinger 方程式位置表象中描写波函数的方程，因此可以将它的解展开为一 系列动量表象本征函数的组合，其系数便是动量表象中的波函数。 解： 采用 Dirac 符号，能量本征方程在位置表象中的方程，即 Schrodinger 方程， H ψ (T =+V ) ψ E ψ （4.1 ） 其中T p2 / 2 m 为动量算符。以 p ， p 表示动量算符的本征函数，即 ˆ ˆ （4.2 ） p p p p p p p p 态函数 ψ 在 p 表象中的表示式记为 p ψ ϕ(p ) （4.3 ） 动量本征函数的正交“归一”和完备性 p p δ(p =−p ) （4.4 ） ∫p p dp 1 （4.5 ） 利用式（4.5 ），可将ψ 表示成 ψ ∫p p ψ dp ∫p ϕ(p )dp （4.6 ） 代入（4.1 ），即 (T +V )∫ p ϕ( p )dp E∫ p ϕ( p )dp 左乘 p ，得 ∫ p (T +V ) p ϕ( p )dp E∫ p p ϕ( p )dp （4.7 ） 由 p 2 p 2 ( ) p T p p p δ p − p （4.8 ） 2m 2m 定义V p V p ，并利用公式 pp ∫δ(p −p )ϕ(p )dp ϕ(p ) （4.9 ） （4.7 ）化成， 2 p ϕ(p ) + V ϕ( p) dp Eϕ( p) （4.10 ） 2m ∫ pp 此即为动量表象中的能量本征方程。 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 4.2 设 Hermite 算符A ，B 满足A B 1，且AB +BA 0 ，求 ˆ ˆ （1） 在A 表象中，算符 A ，B 的矩阵表示。 ˆ （2 ） 在A 表象中，算符B 的本征值和本征函数。 （3 ） 由A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵。 ˆ 解题思路：