最值课件（PPT 17页）.pptVIP

* 等 差 数 列 （五） 等差数列前n项和公式： Sn=n(a1+an)/2 (1) Sn=na1+n(n-1)d/2 (2) 对于公式（2）可整理为 Sn=(n2d/2)+[ a1-(d/2)]n 这说明Sn是关于n的一元二次函数。 等差数列前n项和最值的求法 本节要求：掌握等差数列前n项 和最值的求法。 例 1 已知等差数列{an}中，a1=-2, d=4/9。求前n项和的最值。 解：依求前n项 和的公式有 Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9 =（2/9）n2-20/9×n =（2/9）×(n2-10n) =（2/9）(n-5)2-50/9 所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。 小结： 例1说明，当已知等差数列的首项和公差时，可采用函数最值法求等差数列的前n项和的最值。 例2 已知等差数列{an}中，a1=-2,并且S3=S7，试求Sn的最小值及此时的n的值。 解：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得 3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。 Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9 =2/9×n2-20/9n =2/9(n2-10n) =2/9(n-5)2-50/9 所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。 解法二：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得 3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。 所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9 由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 由方程an=0得 -2+(n-1)4/9=0 解得n=5.5 取 n=5 根据数列递增性可知a1,a2, a3,a4,a5均为负数，从第六项起以后各项均为正数，因此前五项的和最小。代入求和公式Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9 解法三：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得 3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。 由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 等差数列前n项和Sn 是n的二次函数，而S3=S7 正说明二次函数是以n=（3+7）/2为对称轴， 且二次函数开口向上，所以当n =5时Sn有最小值。 将n =5 代入前n项和公式，有 Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9 解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得 3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9 由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得 3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9 由首项及公差知：该数列为递增等差数