2016高考数学一轮复习第六章第5课时数学归纳法课时作业理新人教版课案.docVIP

第5课时　数学归纳法 考纲索引 1. 数学归纳法的概率及原理. 2. 数学归纳法的应用. 课标要求 1. 了解数学归纳法的原理. 2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 知识梳理 1. 数学归纳法是证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取　　　　.? (2)(归纳递推)假设n=k(k≥k0,k∈N*)时命题成立,证明当　　　　.? 2. 应用数学归纳法时特别注意: (1)数学归纳法证明的对象是与　　　　.? (2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可. 基础自测 1. 用数学归纳法证明3n≥n3(n∈N,n≥3),第一步应验证(　　). A. n=1 B. n=2 C. n=3 D. n=4 2. 用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2-1(n∈N*)的过程中,在验证n=1时,左端计算所得的项为(　　). A. 1 B. 1+2 C. 1+2+22 D. 1+2+22+23 指 点 迷 津　　 　,你是如何理解的? 【答案】　,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法,第二步的关键是“一凑假设,二凑结论.” 考点透析 考向一　 【方法总结】用数学归纳法证题的关键是第二步由n=k到n=k+1的过渡,要设法将待证式与归纳假设建立联系,即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形,把n=k+1时的表达式拼凑出归纳假设的形式,再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明. 变式训练 考向二　2　f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*. (1)当n=1,2,3,4时,试比较f(n)与g(n)的大小; (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明. 【方法总结】用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法,即在归纳假设的基础上,通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式,事实上,在合理运用归纳假设后,可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立. 变式训练 考向三　 【方法总结】用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析;事实上,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧. 变式训练 3. 平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,则这n个圆将平面分成不同的区域的个数为(　　). A. 2n B. 2n C. n2-n+2 D. n2+n+1 考向四　4　n为正整数,a∈Z,用数学归纳法证明: an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除. 【方法总结】用数学归纳法证明整除问题,P(k)?P(k+1)的整式变形是个难点,找出它们之间的差异,然后将P(k+1)进行分拆、配凑成P(k)的形式,也可运用结论:“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除?P(k+1)能被p整除.” 变式训练 4. 用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除,其中n为正整数. 考向五　5　{an}满足an+1=-nan+1,n=1,2,3,…. (1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式; (2)当a1≥3时,证明:对所有的n≥1,有an≥n+2. 【方法总结】“归纳——猜想——证明的模式”,是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式,这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用,它的证题模式是先由归纳推理发现结论,然后用数学归纳法证明结论的正确性,这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式. 变式训练 经典考题 真题体验 1. (2014·广东)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列{an}的通项公式. 2. (2014·陕西)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x≥0,其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式; (2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围; (3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明. 参考答案与解析 知识梳理 1. (1)第一个值n0(n0∈N*)　(2)n=k+1 2. (1) 基础自测 考点透析 【例4】　(1)n=1时,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除. (2)假设当n=k(k∈N*)时,ak+1+(a+1)