弹性力学作业习题.docVIP

HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY 1. DATE: 2001-9-20 设地震震中距你居住的地方直线距离为，地层的弹性常数和密度均为已知。假设你在纵波到达秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区？试根据，，，，来进行具体估算。 2. 假定体积不可压缩，位移与很小，。在一定区域内已知，其中，，为常数，且，求。 3. 给定位移分量 ，，，此处为一个很小的常数。求应变分量及旋转分量。 4. 证明 其中为转动矢量。 5. 设位移场为，其中为远小于1的常数。确定在点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。 6. 试分析以下应变状态能否存在。 （1），，，， （2），，，， （3），，，，， 其中为远小于1的常数。 2. DATE: 2001-9-17 证明对坐标变换，，无论为何值均有 ， ， 利用课堂上给出的各向同性张量表达式，推导各向同性材料的广义虎克定律。并写为以杨氏模量E和泊松比来表示的分量表达式。 写出在Voigt记号下的6个Cauchy关系等式。 3. 证明，对各向同性弹性体，若主应为，则相应的主应变。 4. 证明在各向同性弹性体中，应力张量的主方向与应变张量的主方向一致。 5. 各向同性弹性体承受单向拉伸（），试确定只产生剪应变的截面位置，并求该截面上的正应力（取）。 6. 试推导体积应变余能密度及畸变应变余能密度公式： 3. DATE: 2001-9-26 1. 下面应力场是否为无体力时弹性体中可能存在的应力场？如果是，它们在什么条件下存在？ （1） ； （2） ； （3）， 。 其中及均为常数。 2. 设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在除上、下表面之外的全部边界上，受有均匀压力。验证及能满足平衡微分方程、协调方程及边界条件，因而就是正确的解答。 3.应力函数一般形式 和对应的Beltrami-Michell方程 导出在Maxwell应力函数下（，其余为零），书中的(4.7)，(4.8)式。 考虑由面积不可压缩的平行叠层组成的层合板，其层界面以轴为法向，写出该层合板的约束应力表达式. 4. DATE: 2001-9-28 1.若在域V内应力场与体力相平衡，V的边界S均为力边界，作用在其上有面力，为S上的单位外法向量。若，为已知，而为待求，求证问题只有在，满足下列条件时才有解 且 对各向同性弹性体，若体力为零，试证明 3. 将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，在铁盖上面作用均匀压力（图5-6）。假设铁盒与铁盖可以视为刚体，在橡皮与铁之间没有摩擦。试用位移法求橡皮块中的位移、应变与应力。 图5-6 4. 图5-8所示矩形薄板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压。由叠加原理求板的应务和位移。 图5-8 5. 一矩形截面构件受沿轴向的简单拉伸及绕、轴的弯矩作用，如图5-9所示。不计体力。六个应力分量为 试用平衡方程和B-M方程求的函数形式。并利用端面边界条件 确定积分常数。（为端部横截面面积，、轴分别为截面的对称轴。截面对、轴的惯性矩分别为，，设坐标原点处无平移和转动） 6. 在一半平面的边界处，作用有自平衡的面力。试说明(通过求解)该面力引起的应力场在表面以下呈指数衰减，并以及论证在这一问题上圣维南原理适用。 5. DATE: 2001-10-2 课堂上用猜测的方法，并引用唯一性定理，得到了简单拉伸问题的位移场。请利用已得的应变表达式和六个应变－位移关系来严格地导出这一位移场。 考虑纯弯曲问题，在不变弯矩作用下柱体的轴线（即材力中所说的挠度曲线应为一段圆弧）。而根据课堂上的推导，横向挠度均正比于，即为抛物线。试解释产生这一不同的原因。 考虑由端面反对称自平衡的面力分布而导致的对矩形梁弯曲问题的修正解。求出制约该修正解衰减指数的特征方程。 6. DATE: 2001-10-9 1．半径为的圆截面杆两端作用扭矩。试写出此杆的应力函数，并求出剪应力分量，最大剪应力及位移分量。 2. 用位移法导出圆轴扭转的剪应力和扭角公式。 3. 若柱体扭转时横截面上应力为，证明该柱体截面是圆。 4．考虑一个单连通域的横截面，证明在条件 和 应力函数可唯一确定。 5．考虑一个单连通的横截面，从中切去一个由应力函数等高线所界定的单连通域。试证明： 新的、双连通的横截面所对应的应力函数仍为 原来的应力函数。 该环形域的扭转刚度为原问题的扭转刚度与 （挖去的）芯部区的扭转刚度之差。 7. DATE: 2001-10-17 （思考题）无穷长板条含半无穷长裂纹，求，裂尖应力强度因子。 （思考题）试推导这张表中的所有结果，并与Saint-Venant假设下的估算结果相比较。 形状 扭转刚度 圆 椭圆 正方形 半圆