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第二章
2.1求下列函数的拉氏变换
（2）
（4）
（6）
2.2 （1）由终值定理：
（2）
由拉斯反变换：
所以
2.3（1）
,
2.4解：
2.5求下列函数的拉氏反变换
（2）
（4）
（6）
2.6（1）
（2）
2.7（1）
（2）
2.8 解 水的流量Q1由调节控制阀的开度控制，流出量Q2则根据需要可通过负载阀来改变，被调量H反映了。水的流入与流出之间的平衡关系。
设为输入水流量的稳态值，为其增量;输出水流量的稳态值，为其增量;A为水槽底面积；为负载阀的阻力(即液阻)。在正常运行时处于平衡状态，即，。当调节控制阀的开度时，使液位随之变化。在流出端负载阀开度不变的情况下，液位的变化将是流出量改变流出量与液位高度的关系。
， (2-1)
， (2-2)
将式(2-1)代入式(2-2)，得
， (2-3)
所以 。其中，.
由式(2-1)也可得
,
。
水流量(式子中，v为水的体积；H为水位高度；A为容器底面积)由上式有 H(t)= 对上式进行拉氏变换并整理得
传递函数为
2.11 当只有R(s)作用，且N(s)=0时
当只有N(s)作用，且R(s)=0时
2.12 (1)以R(s)为输入，当N(s)=0时，
当以C(s)为输出时，有
当以Y(s)为输出时，有
当以B(s)为输出时，有
当以E(s)为输出时，有
(2)以N(s)为输入，当R(s)=0时
当以C(s)为输出时，有
当以Y(s)为输出时，有
当以B(s)为输出时，有
当以E(s)为输出时，有
2.13
2.14
2.15
2.16 （a）,,,
(b),
4个单独回路：,,,
4对回路互不接触：;;
;
一对三个互不接触回路：
，，
G(s)=
2.17解:由于在单位阶跃输入时,有
所以
，
当时，，则，
当时，，则，将代入验算，
得，
3.8 解(1)由二阶系统的极点,可以得到 。
由上述公式，可得到 ,,
因而有 ，。
系统闭环传递函数可写为 。
(2)上述系统对应的动态响应指标为
，
，
，
，
3.9解 (1)对系统输出作拉普拉斯变换，可得到系统输出为
。
系统输入为单位阶跃输入，则
因而，系统闭环传递函数表达式为
。
(2)二阶系统标准形式为
,
特征多项式为。
因而 .
系统阻尼比和无阻尼自然振荡频率分别为
由系统特征方程可排出劳斯表如下：
s 1 8 20 16
s 2 12 16
s 1 6 8 辅助方程：s+6s+8=0，
s 0 0 求导：4s+12s=0
4 12
s 3 8
s 4/3
s 8
由劳斯表可知，第一列元素不变号，所以无右半s平面的根。但劳斯表有一行全部为
因此存在对称根。解辅助方程是，得 ，。
系统有两对虚根，处于临界稳定。
解 (1)由系统特征方程可排出劳斯表如下：
s 1 10 K
s 22 2
s 9.
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