余尾.解答版.pdfVIP

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余 尾 一、杯赛真题: 1.(第4 届华杯赛决赛第10 题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1  2  3  4  5  6  7  8  9 除以3 的余数是几?为什么? 【答案】1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】1  2  3  4  5  6  7  8  9  11 0 1 2 0 11 0  1(mod3) 2 .(第16 届华杯赛决赛D 卷第7 题) 111011001100011000001111 的末八位是? 【答案 【解析】111011001100011000001111 (11101) (1111001) 100011000001 (111110001) (1111111000001) 111111111111 所以末八位是 3 .(第17 届华杯赛决赛A 卷第12 题) 已知98 个互不相同的质数p ,p , p ,则 2 2 2 除以3 的余数是? p  p   p 1 2 98 1 2 98 【答案】1 或 2 【解析】任意一个非 3 质数除以 3 的余数为 1 或 2 ,所以其平方除以 3 的余数都是 1。 4 .(第18 届华杯赛初赛B 卷第2 题) 2  2 3  2 32   2 39 的个位数字是 ( ) (A)2 (B)8 C(4) (D)6 【答案】B 【解析】  2  6 8  4  2  6 8  4  2 6 8(mod10) 5 . (第8 届华杯赛总决赛二试试题) 已知1 2  3  n 的和的个位数为3,十位数为0,百位数不为0 .求n 的最小值. 【答案】37 1 【解析】1 2  3  n nn(  1) ,所以 n 的末位必然是 2 或 7,然后再试。 2 6 .(第3 届华杯赛总决赛二试试题) 已知:a1991, 问:A 除以13 所得余数是几?  1991个1991 【答案】8 【解析】13|199119911991 a 991 19 911 8(mod13) 7 .(第1 届华杯赛总决赛二试试题7 ) 70 个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和, 这一行最左边的几个数是这样的:0,1,3,8,21 ,…问最右边一个数被6 除余几? 【答案】4 【解析】余数列:0,1,3,2,3,1,0,5,3,4,3,5,0,1, ,故第 70 个与第 10 个一样,为 4 8. (第8 届华杯赛总决赛一试试题) x 2 求1 到2001 的所有自然数中,有多少个整数x 使2 与x 被7 除余数相同? 【答案】574 【解析】列举如下,周期为 21 ,每个周期里有 6 个一样,所以共有95 6 4

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