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余 尾
一、杯赛真题:
1.(第4 届华杯赛决赛第10 题)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 除以3 的余数是几?为什么?
【答案】1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
【解析】1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 0 1 2 0 11 0 1(mod3)
2 .(第16 届华杯赛决赛D 卷第7 题)
111011001100011000001111 的末八位是?
【答案
【解析】111011001100011000001111
(11101) (1111001) 100011000001
(111110001) (1111111000001)
111111111111
所以末八位是
3 .(第17 届华杯赛决赛A 卷第12 题)
已知98 个互不相同的质数p ,p , p ,则 2 2 2 除以3 的余数是?
p p p
1 2 98 1 2 98
【答案】1 或 2
【解析】任意一个非 3 质数除以 3 的余数为 1 或 2 ,所以其平方除以 3 的余数都是 1。
4 .(第18 届华杯赛初赛B 卷第2 题)
2 2 3 2 32 2 39 的个位数字是 ( )
(A)2 (B)8 C(4) (D)6
【答案】B
【解析】 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8(mod10)
5 . (第8 届华杯赛总决赛二试试题)
已知1 2 3 n 的和的个位数为3,十位数为0,百位数不为0 .求n 的最小值.
【答案】37
1
【解析】1 2 3 n nn( 1) ,所以 n 的末位必然是 2 或 7,然后再试。
2
6 .(第3 届华杯赛总决赛二试试题)
已知:a1991, 问:A 除以13 所得余数是几?
1991个1991
【答案】8
【解析】13|199119911991 a 991 19 911 8(mod13)
7 .(第1 届华杯赛总决赛二试试题7 )
70 个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和,
这一行最左边的几个数是这样的:0,1,3,8,21 ,…问最右边一个数被6 除余几?
【答案】4
【解析】余数列:0,1,3,2,3,1,0,5,3,4,3,5,0,1, ,故第 70 个与第 10 个一样,为 4
8. (第8 届华杯赛总决赛一试试题)
x 2
求1 到2001 的所有自然数中,有多少个整数x 使2 与x 被7 除余数相同?
【答案】574
【解析】列举如下,周期为 21 ,每个周期里有 6 个一样,所以共有95 6 4
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