【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.3+3.2.4 直线与平面的夹角 二面角及其度量课后知能检测 新人教B版选修2-1.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.3+3.2.4 直线与平面的夹角 二面角及其度量课后知能检测 新人教B版选修2-1 一、选择题 1．直线l与平面α成45°角，若直线l在α内的射影与α内的直线m成45°角，则l与m所成的角为(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° 【解析】　由最小角定理知，设l与m成θ角，则cos θ＝cos 45°·cos 45°， cos θ＝，θ＝60°.故选C. 【答案】　C 2．已知Aα，Pα，＝(－，，)，平面α的一个法向量n＝(0，－，－)，则直线PA与平面α所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．150° 【解析】　设直线PA与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉| ＝ ＝.θ＝60°. 【答案】　C 3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解】　如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)． 取PD中点为E， 则E(0，，)， ＝(0，，)， 易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量， cos，＝， 平面PAB与平面PCD的夹角为45°. 【答案】　B 4．(2013·西安高二检测)一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定 【解析】　举例说明，如图所示两个二面角的半平面分别垂直，则半平面γ绕轴l旋转时，总有γβ，故两个二面角大小无法确定关系． 【答案】　D 5．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(　　) A．60° B．90° C．45° D．以上都不对 【解析】　以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图． 由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)． 设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)， cos〈n，〉＝＝＝－1. 所以〈n，〉＝180°. 所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°. 【答案】　B 二、填空题 6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为______． 【解析】　连接B1D1， B1D1为BD1在平面A1B1C1D1内的射影， BD1B1为BD1与平面A1B1C1D1所成的角， 设正方体棱长为a，则tan BD1B1＝＝. 【答案】　 图3－2－24 7．如图3－2－24，在三棱锥O－ABC中，OA＝OB＝OC＝1，AOB＝90°，OC平面AOB，D为AB的中点，则OD与平面OBC的夹角为________． 【解析】　OA⊥平面OBC， 是平面OBC的一个法向量． 而D为AB的中点，OA＝OB， AOD＝〈，〉＝45°. OD与平面OBC所成的角θ＝90°－45°＝45°. 【答案】　45° 8．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________. 【解析】　平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则 即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝(，，1)． 而cos〈n，u〉＝＝， 又a＞0，a＝. 【答案】　 三、解答题 图3－2－25 9．在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点， 求：二面角E－AC－D的大小． 【解】　如图以A为原点，以AC、AB、AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 设PA＝AB＝a，AC＝b. 连接BD与AC交于O，取AD中点F， 连接OE，OF，EF， 则C(b,0,0)，B(0，a,0)，＝. D(b，－a,0)，P(0,0，a)． E，O， ＝，＝(b,0,0)， ·＝0， ⊥，＝＝，·＝0，⊥. ∴∠EOF为二面角E－AC－D的平面角． cos〈，〉＝＝. 二面角E－AC－D的大小为45°. 10．四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上． (1)求证：平面AEC平面PDB； (2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小