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【优化探究】（教师用书）2015届高考数学总复习 绝对值不等式提素能高效训练 理 新人教A版选修4-5 一、选择题 1．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为(　　) A．2　　　　　　　　　　　　B. C．4 D．6 解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2. 答案：A 2．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为(　　) A．5 B．4 C．8 D．7 解析：由题易得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5. 答案：A 3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－1][4，＋∞)B．(－∞，－1)(4，＋ ∞) C．(－∞，－4][1，＋∞)D．(－∞，－1)[4，＋∞) 解析：|x＋3|－|x－1|≤4， a2－3a≥4， 即a2－3a－4≥0. 解得a≤－1或a≥4. 答案：A 4．已知命题p：x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥m，命题q：x∈R，x2－2mx＋m2＋m－3＝0，那么，“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的(　　) A．充要条件　　　　　　B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由绝对值不等式的几何性质可知，x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，故若命题p为真命题，则m≤3；当命题q为真命题时，方程x2－2mx＋m2＋m－3＝0有根，则Δ＝(－2m)2－4(m2＋m－3)＝12－4m≥0，解得m≤3；所以“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的充要条件． 答案：A 5．当|a|≤1，|x|≤1时，关于x的不等式|x2－ax－a2|≤m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：|x2－ax－a2|＝|－x2＋ax＋a2|≤|－x2＋ax|＋|a2|＝|－x2＋ax|＋a2，当且仅当－x2＋ax与a2同号时取等号．故当－x2＋ax≥0时，有|x2－ax－a2|＝|－x2＋ax|＋a2＝－x2＋ax＋a2＝－2＋a2，当x＝时，有最大值a2.而|a|≤1，|x|≤1，所以当a＝1，x＝或a＝－1，x＝－时，|x2－ax－a2|有最大值，且|x2－ax－a2|max＝，故m的取值范围是. 答案：B 6．(2014年潍坊模拟)不等式|x－2|－|x－1|0的解集为(　　) A. B. C. D. 解析：原不等式等价于|x－2||x－1|，则(x－2)2(x－1)2，解得x. 答案：A 二、填空题 7．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________． 解析：解法一　分类讨论去绝对值号解不等式． 当x时，原不等式转化为4x≤6x≤；当－≤x≤时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x－时，原不等式转化为－4x≤6x≥－.由上综合知，原不等式的解集为. 解法二　利用几何意义求解． 原不等式可化为＋≤3，其几何意义为数轴上到，－两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝或x＝－时，到，－两点的距离之和恰好为3，故当－≤x≤时，满足题意，则原不等式的解集为. 答案： 8．(2013年高考江西卷)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________． 解析：依题意得－1≤|x－2|－1≤1，即|x－2|≤2，解得0≤x≤4. 答案：[0,4] 9．(2013年高考重庆卷)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________． 解析：|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8， (|x－5|＋|x＋3|)min＝8， 要使|x－5|＋|x＋3|a无解，只需a≤8. 答案：(－∞，8] 三、解答题 10．(2014年大理一模)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)证明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． 解析：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝ 当2x5时，－32x－73. 所以－3≤f(x)≤3. (2)由(1)可知， 当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集； 当2x5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x5}； 当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}． 综上，不等式 f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}． 11．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|. (1)作出函数y＝f(x)的图象； (2)解不等式|x－8|－|x－4|＞2. 解析：(1)f(x)＝ 图象如下：