【优化探究】2015高考数学 3-8 正弦定理和余弦定理的应用提素能高效训练 新人教A版 理 .docVIP

【优化探究】2015高考数学 3-8 正弦定理和余弦定理的应用提素能高效训练 新人教A版 理 [A组　基础演练·能力提升] 一、选择题 1．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长(　　) A．5 m　　　　　　　　　　B．10 m C．10 m D．10 m 解析：如图，A点为坡顶，B点为原坡底．设将坡底延长到B′点时，倾斜角为30°，在ABB′中，B′＝30°，BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m，由正弦定理得BB′＝＝＝10，故坡底延长10 m时，斜坡的倾斜角将变为30°. 答案：C 2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为(　　) A.海里/小时 B．34海里/小时 C.海里/小时 D．34海里/小时 解析：如图所示，在PMN中，PM＝68，PNM＝45°，PMN＝15°，故MPN＝120°，由正弦定理可得＝，所以MN＝34 ，所以该船的航行速度为海里/小时． 答案：C 3．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　　) A.分钟 B.小时 C．21.5分钟 D．2.15小时 解析：如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.BAC＝120°，DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100.当t＝时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟． 答案：A 4.(2014年泰安模拟)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB＝45°，CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 解析：由AC＝50(m)，ACB＝45°，CAB＝105°，所以CBA＝30°，在ABC中，由正弦定理可得＝，即＝， 所以AB＝50(m)，故选A. 答案：A 5．地上画了一个角BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为(　　) A．14米　　　B．15米　　　C．16米　　　D．17米 解析：如图，设DN＝x m， 则142＝102＋x2－2×10×xcos 60°， x2－10x－96＝0. (x－16)(x＋6)＝0. x＝16或x＝－6(舍)． N与D之间的距离为16米． 答案：C 6．(2014年呼和浩特第二次统考)已知等腰三角形的面积为，顶角的正弦值是底角的正弦值的倍，则该三角形的一腰长为(　　) A. B. C．2 D. 解析：设等腰三角形底角为α，根据题意得sin(180°－2α)＝sin α，化简得sin 2α＝2sin αcos α＝sin α，α∈(0,180°)，所以解得cos α＝，故α＝30°，即三角形顶角为120°，设腰长为x，则x2·sin 120°＝x2＝，解得x＝. 答案：A 二、填空题 7.如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x＝________. 解析：由题图知，AB＝x，ABC＝180°－105°＝75°，BCA＝180°－135°＝45°.BC＝10，BAC＝180°－75°－45°＝60°，＝，x＝＝. 答案： 8．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km. 解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，MAB＝30°， ∠AMB＝45°， 在AMB中， 由正弦定理得＝， 解得BM＝30(km)． 答案：30 9．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________ m. 解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中， A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h， 根据余弦定