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第四章 时间序列模型的性质 3.1 自回归过程的特征 第四章 时间序列模型的性质 第一节 自回归过程的性质 第二节 移动平均过程的性质 第三节 自回归移动平均过程的性质 第一节 自回归过程的性质 一、一阶自回归过程AR(1)的性质 二、二阶自回归过程AR(2)的性质 三、p阶自回归过程AR(p)的性质 一、一阶自回归过程AR(1)的性质 一阶自回归模型的形式为： 1、平稳性和可逆性 2.ar(1)过程的自相关函数 3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF） 二、二阶自回归AR(2)过程的性质 1、平稳性和可逆性 2.AR(2)过程的自相关函数 3.AR(2)过程的偏自相关函数 三、p阶自回归过程AR(p)的性质 2.AR(p)的自相关函数ACF 3.AR(p)过程的偏自相关函数PACF 一、一阶移动平均过程MA(1)的性质 一阶移动平均模型MA(1)的形式为： 1.MA(1)过程的平稳性和可逆性 A.平稳性：AR(1)过程总是平稳的。 B.可逆性： 为满足可逆性，θ(B)=1－θ1B=0 的根必须在单位圆外。 2.MA(1)过程的自相关函数ACF 3.MA(1)过程的自相关函数PACF 2.MA(2)过程的自相关函数ACF 2.MA(2)过程的偏自相关函数(PACF) 三、q阶移动平均过程MA(q)性质 1.平稳性和可逆性 A.平稳性：有限阶移动平均过程MA(q)总是平稳的。 B.可逆性：为满足可逆性， 2.MA(q)过程的自相关函数(ACF) 3.MA(q)过程的偏自相关函数（PACF） 要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、MA(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏自相关函数是由 一、 ARMA(1,1)的性质 二、ARMA(p,q)过程的性质 1.ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性 2.ARMA(1,1)过程的ACF 3.ARMA(1,1)过程的PACF 1.ARMA(p,q)的平稳性和可逆性 2.ARMA(p,q)过程的ACF 3.ARMA(p,q)过程的PACF 第四节 ARMA 模型的性质总结 Thank you very much! 通过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关 函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性。 当k=1时，自相关系数由φ1和θ1共同决定。 当k≥2时，自相关系数仅取决于φ1即差分方程 φ(B)=0的根，呈指数衰减。 ARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样， 也是呈指数衰减，不过指数衰减的形态 由φ1和θ1共同决定，因此指数衰减的形 态比MA(1)过程PACF指数衰减形式更多。 例1：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过 程的样本ACF和样本PACF： 例1.模拟生成的 ARMA(1,1)过程的样本ACF 和样本PACF 指数拖尾 指数拖尾 例2：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过 程的样本ACF和样本PACF： 例2.模拟生成的 ARMA(1,1)过程的样本ACF 和样本PACF 指数拖尾 指数拖尾 在第二章我们介绍了求偏自相关的递推公式如下： 由上推导可得出如下结论： 在可逆性条件满足情况下,MA(1)过程的PACF 呈指数拖尾。 如果θ10,那么PACF都为负，且呈指数衰减； 如果θ10,那么PACF正负交替呈指数衰减。 例1：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程 的趋势图和自相关图： Xt=at－0.85at-1 =(1－0.85B) at 其中θ1=0.850 at为白噪声 滞后一阶截尾 呈负指数衰减 例2：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程 的趋势图和自相关图： Xt=at－ (－0.85)at-1 =(1－(－0.85)B) at 其中θ1=－0.850 呈正负交替 指数衰减 滞后一阶截尾 二、二阶移动平均过程MA(2)的性质 二阶移动平均模型MA(2)的形式为： 其中：xt为零均值平稳序列， at为零均值的白噪声。 返回本节首页 下一页 上一页 1.MA(2)过程的平稳性和可逆性 A.平稳性：AR(2)过程总是平稳的。 B.可逆性： 为满足可逆性, 的根必须在单位圆外。 对于MA(2)过程，我们有如下结论： 如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0 的根是实数，则φkk是两个衰减指数 的和；如果其根是复数，则φkk 是一 衰减的正弦波。 滞后二阶 截尾 指数衰减 (拖尾) 滞后二阶 截尾 阻尼正弦波衰减 (拖尾) 返回本节首页 下一页 上一页 的根必须在单位圆外。 对于高阶的移动平均过程，其可逆性条件