量子力学导论第3篇答案.doc

第三章一维定态问题 3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， 求粒子的能量本征值和本征波函数。如 ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 若，则 这时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与） 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 , 当时， 时，能级不简并； 三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。 如 3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中， 证明处于定态的粒子 讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。 证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数 . （1） （2） 在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 ， （3） ， （4） 当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中， 处于基态，求粒子的动量分布。 解：基态波函数为 , （参P57，（12）） 动量的几率分布 3.5）设粒子处于半壁高的势场中 （1） 求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出: （2） 其中 （3） 方程的解为 （4） 根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则 当时，，则 于是 （5） 在处，波函数及其一级导数连续，得 （6） 上两方程相比，得 （7） 即 （7’） 若令 （8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程： （10）式是以为半径的圆。对于束缚态来说，， 结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当，即，亦即 （11） 时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。 3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。 解：仅讨论分立能级的情况，即， 当时，，故有 由在、处的连续条件，得 （1） 由（1a）可得 （2） 由于皆为正值，故由（1b），知为二，四象限的角。 因而 （3） 又由（1），余切函数的周期为，故由(2)式， (4) 由(3)，得 (5) 结合(4),(5)，得 或 （6） 一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级： （7） 当时，仅当 才有束缚态 ，故给定时，仅当 （8） 时才有束缚态（若，则无论和的值如何，至少总有一个能级） 当给定时，由(7)式可求出个能级（若有个能级的话）。相应的波函数为: 其中 3—7）设粒子（能量）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。 解：势阱为 在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故 由，得 。 由，得 。 从上