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微积分 Created by Hu zhiming 第 1 页 共 40 页 第四部分 一元函数微积分 【考试情况总结】一元微积分共52 题 • 一、函数（3 道） • 1.定义域（1 道） 2.函数求值（2 道） • 二、极限（5 道） • 三、连续（1 道） • 四、导数与微分（10 道） • 1．导数与微分的概念（6 道） 2．导数与微分的运算（4 道） • 五、导数的应用（14 道） • 1．中值定理（2 道） • 2．单调性与凹凸性、极值点与拐点（4 道） • 3．不等式问题（1 道） 4．最值问题（3 道） • 5．方程根的问题（3 道） 6．渐近线问题（1 道） • 六、不定积分（1 道） • 七、定积分（18 道） • 1．概念与性质（几何意义）（6 道） 2．定积分运算（9 道） 3．定积分应用（3 道） 第1 章 函数 极限 连续 [内容综述] 1．函数 函数概念、函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、有界性）、分 1 微积分 Created by Hu zhiming 第 2 页 共 40 页 段函数、隐函数、反函数、复合函数、基本初等函数（常函数、幂函 数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）、初等函数． 2．极限 极限的概念、极限的性质（极限的唯一性、函数的局部有界性、极 限的保序性）、极限的四则运算与复合函数的极限、两个重要极限 sin x 1 （ x ）、无穷小量的概念与性质（与有界 lim 1 lim(1 ) e x 0 x x  x 变量的乘积仍是无穷小量、无穷大量与无穷小量的关系等）、无穷小量 的比较（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小）与等价无穷小代换． 3．连续 连续概念、左右连续与连续的关系、间断点及其分类(第一类：左、 右极限都存在的间断点，包括可去型与跳跃型两种；第二类：左、右 极限中至少有一个不存在的间断点）、连续函数的四则运算、反函数的 连续性与复合函数的连续性、初等函数的连续性（初等函数在其定义 域区间上连续）、闭区间上连续函数的性质（有界性；最大、最小值定 理；零点存在定理；介值定理）． [常见问题] 1．函数 问题1：求函数定义域的问题； 问题2：讨论函数简单性质的问题（单调性、奇偶性、周期性）； 问题3：求函数值或求函数表达式的问题． 2．极限 问题1：讨论极限存在性的问题； 2 微积分 Created by Hu zhiming 第 3 页 共 40 页 问题2：利用极限性质 （保序性）处理的问题； 问题3：利用重要极限求极限的问题； 问题4：利用无穷小的比较（等价无穷小）处理的问题． 3．连续 问题1：讨论函数在一点连续性的问题； 问题2：找出函数间断点并对其分类的问题； 问题3：利用连续函数性质（最值存在性、介值存在定理、零点存在 定理）处理的问题． [典型例题] 一、极限问题 例1．（2007）lim f (x ) 4 ，则必定 ( C ) x 1 A．f (1) 4 B．f (x )在x 1处无定义 C．在x 1某邻域(x 1) ，f (x ) 2 D．在x 1某邻域(x 1) ， f (x ) 4 分析：考查极限概念及其基本性质．根据极限定义，lim f (x )