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数学难题 [例题1] 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且向量BF=2向量FD，求C的离心率_____。[解析]：利用爆强公式：ecosA＝（x－1）/（x＋1）A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角 。x为分离比 （就是指AF＝xBF），必须大于1。 注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分， 用该公式；如果外分，将公式中正负号对调。综上：本题中cosA＝c/a＝e，所以代入公式易得e=√3/3 [例题2]已知O三角形ABC的外心，AB＝2，AC＝5，向量AO※向量BC（数量积）＝__[解析]：根据爆强公式：向量AO※向量BC＝(AC^2－AB^2)/2易得。[公式的来源：过O作BC垂线，垂足为D，转化到三角形]综上：答案为：21/2 [例题3]已知正三棱锥S-ABC，若点P是底面ABC内一点，且点P到三棱锥的三个侧面的三个距离依次成等差数列，则点P的轨迹是（）A.一条直线的一部分B，椭圆的一部分，C，圆的一部分D，抛物线的一部分 [解析]：根据等体积易得d1＋d2＋d3＝定值。又因为这三个数成等差，所以d2为定值。故选A[答案]:A [例题4]已知椭圆x^2/4＋y^2/3＝1，直线AB过椭圆右焦点，交于椭圆A.B两点，AB的中点为（1/2，1/2），求直线AB的方程。 [解析]：根据爆强公式k椭＝-b^2xo/（a^2yo）＝-3/4根据点斜易得直线方程。[答案]6x＋8y－7＝0 [例题5]已知点(x，y)满足x^2/4+y^2＜=1，求x＋2y的取值范围。[解析]：根据参数方程求解。x=2cosc，y=sinc 所以x+2y＝2cosc＋2sinc＝2√2sin(c+派/4) [答案]：[-2√2，2√2] [例题6]已知a(n+1)＝3a(n)＋2，a1＝2，求an。[解析]：根据爆强公式特征根方程得到x=q/(1-p)＝2/(1-3)＝-1，所以an=(a1-x)p^(n-1)＋x＝3^(n-1）-1[答案]：an＝3^n－1 [例题7]空间给定不共面的 A、B、C、D 四个点，其中任意两点的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A、B、C、D中有三个点到 α 的距离相同，另外一个点到α 的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面的个数是 A．15 B．23 C．26 D．32 [解析]：无论如何算，答案必是4的倍数。因为C41＝4[答案]:D 如果要真正做也可以自己想一下：4×（2＋6）＝32 [例题8]三角形ABC的两顶点A(-5,0),B(5,0)，三角形内心在直线x=3上，求顶点C的轨迹方程。[解析]：根据双曲线性质，c是双曲线上一点，三角形f1cf2的内切圆的圆心必在x=a上，所以易得a＝3，c＝5注意定义域 [答案]：x^2/9 -y^2/16＝1（x＞0） [例题9]已知P点在圆c：x^2＋(y-4)^2＝1上移动，Q点在椭圆x^2/4 ＋y^2＝1上移动，求∣PQ∣的最大值。 [解析]：抓住圆的圆心不动，以静制动。设点C(0，4）与点Q(x，y)的距离为d，则d^2＝x^2＋(y-4)^2=4-4y^2＋(y-4)^2 又因为y属于[-1，1] 所以d^2最大为25 所以d+1最大为6。[答案]：6 [例题10](a+b+c)^6的展开式中合并同类项后共有__项。 [解析]:根据常用结论(a+b+c)^n的展开项有C(n+2) 2项。所以本题C8 2＝28[答案]：28[拓展]：上述公式可以推广成(x1＋x2＋…＋xm）^n 展开合并后共有：C(n+m-1) (m-1) 项 [例题11]已知y^2＝4x，过焦点的两弦AB垂直CD，AB＋CD最小=__解析：根据常用结论：对于y^2＝2px，有过焦点的两互相垂直弦，则两弦长和最小为8p。代入易得。[答案]：16 [例题12]把1，2，3，4，5，6，7这七个数排列，任意两数互质的排列有_种。[解析]关键在于分类。1，先排1，3，5，7，有A44种；再把6插空，但不与3相邻，有3种；最后把2，4插空，但不与6相邻，有A42种，综上：A44×3×A42＝864种。[答案]：864 说明一个易错点：y=tanx的对称中心为(k派/2，0)，不是（k派，0）[其中k为整数] [例题13]已知等差数列S15＝S10，a1＋ak＝0，则k=__[解析]：注意S15-S10＝0，即a13＝0，即a13＋a13＝a1＋a25＝0，所以k=25，[答案]25 [例题14]设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x=0时，f(x)=x^2，若对任意的x属于[t，t+2]，不等式f(x+t)=2f(x)恒成立，则实数t的取值范围：__ [解析]注意到2f(x)＝f(√2 x)，再考虑恒成立，分离参变量即可。[答